Calcule as seguintes transformadas:
(xiv) L[(e^t-2 t)^2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de \n (e^t-2t)^2. Vamos usar a linearidade da transformada de Laplace e transformadas conhecidas de potências de t e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, expandimos o quadrado: \n (e^t-2t)^2=e^2t-4t e^t+4t^2

Passo 3

Aplicamos a linearidade: \n L[(e^t-2t)^2]=L[e^2t]-4L[t e^t]+4L[t^2]

Passo 4

Usamos as fórmulas padrão: \nTransformada de e^2t é 1s-2 (para Re(s)>2),\ntransformada de t e^t é 1(s-1)^2 (para Re(s)>1),\ntransformada de t^2 é 2s^3 (para Re(s)>0).

Passo 5

Substituindo, obtemos: \n L[(e^t-2t)^2]=1s-2-4cdot1(s-1)^2+4cdot2s^3=1s-2-4(s-1)^2+8s^3

Resposta

1s-2-4(s-1)^2+8s^3

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