Calcule as seguintes transformadas:
(xv) L[t e^-3 t cos 4 t]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de t e^-3tcos4t. O conteúdo aqui é a transformada de Laplace, uso da propriedade de deslocamento no eixo s para fatores exponenciais e a propriedade de derivação em s para o fator t. Vamos precisar também lembrar da transformada básica de cos4t.

Passo 2

Primeiro, calculemos a transformada de e^-3tcos4t, chamando-a de G(s). Usando o deslocamento no eixo s (regra de 1ª mudança):
G(s)=Le^-3tcos4t(s)=ss^2+4^2|sto s+3=s+3(s+3)^2+16

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de derivação em s:
Para qualquer função f(t), Lt f(t)(s)=-ddsF(s), onde F(s)=Lf(t)(s). Aqui f(t)=e^-3tcos4t, então
Lt e^-3tcos4t(s)=-dds!gl[s+3(s+3)^2+16gr]

Passo 4

Vamos calcular a derivada:
Seja u=s+3. Então
dds!gl[uu^2+16gr] =(u^2+16)cdot1 - ucdot2u(u^2+16)^2 =16 - u^2(u^2+16)^2
Voltando a s, isso dá
dds!gl[s+3(s+3)^2+16gr]=16 - (s+3)^2l((s+3)^2+16r)^2

Passo 5

Aplicando o sinal de menos e simplificando a expressão resultante:
-l[16 - (s+3)^2r];=;(s+3)^2 -16
Logo,
Lt e^-3tcos4t(s)=(s+3)^2 -16l((s+3)^2+16r)^2
Expandindo o numerador e o denominador se quiser:
(s+3)^2 -16=s^2+6s+9-16=s^2+6s-7,
(s+3)^2+16=s^2+6s+25,
portanto também pode ser escrito como
s^2+6s-7(s^2+6s+25)^2

Resposta

Lt e^-3tcos4t(s)=(s+3)^2 -16l((s+3)^2+16r)^2 = s^2+6s-7(s^2+6s+25)^2

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