Calcule a Transformada de Laplace da função f(t), usando a definição:
Lf(t)=integral0^infty e^-s t f(t) d t.
f(t)=c t, 0 <= t<1 1, t >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular a Transformada de Laplace da função Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt , que é definida de maneira diferente dependendo do valor de . Especificamente, quando e quando . Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace:
Vamos precisar dividir a integral em partes conforme a definição de e resolver cada uma separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em dois intervalos de acordo com a definição de Lf(t) = integral0^1 e^-s t t , dt + integral1^infty e^-s t cdot 1 , dt :
Aqui, a primeira integral corresponde ao intervalo onde e a segunda onde .

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^1 e^-s t t , dt
Para integrar integral u , dv = u v - integral v , du , usamos integração por partes. Lembrando que:
integral t e^-s t dt = -t e^-s ts + 1s integral e^-s t dt = -t e^-s ts - e^-s ts^2 + C
Escolhemos:
  • [ -t e^-s ts - e^-s ts^2 ]0^1 = ( -1 cdot e^-ss - e^-ss^2 ) - ( 0 - 1s^2 ) = 1s^2 - e^-s ( s + 1s^2 )
Aplicando a fórmula:
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral1^infty e^-s t dt
Essa é uma integral exponencial simples. Calculamos:
integral e^-s t dt = -e^-s ts + C
Avaliando de 1 a infinito:
[ -e^-s ts ]1^infty = 0 - ( -e^-ss ) = e^-ss

Passo 5

Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
Lf(t) = ( 1s^2 - e^-s s + 1s^2 ) + e^-ss
Vamos simplificar:
Lf(t) = 1s^2 - e^-s(s + 1)s^2 + e^-ss
Note que:
e^-ss = e^-s cdot ss^2
Então:
Lf(t) = 1s^2 - e^-s(s + 1)s^2 + e^-s cdot ss^2 = 1s^2 - e^-ss^2
Fatorando:
Lf(t) = 1 - e^-ss^2

Resposta

A Transformada de Laplace da função Lf(t) = 1 - e^-ss^2 é:

Exercícios relacionados