Calcule a Transformada de Laplace da função
, usando a definição:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular a Transformada de Laplace da função
, que é definida de maneira diferente dependendo do valor de
. Especificamente,
quando
e
quando
. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace:
Vamos precisar dividir a integral em partes conforme a definição de
e resolver cada uma separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a integral em dois intervalos de acordo com a definição de
:
Aqui, a primeira integral corresponde ao intervalo onde
e a segunda onde
.
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral:
Para integrar
, usamos integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Essa é uma integral exponencial simples. Calculamos:
Avaliando de 1 a infinito:
Passo 5
Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
Vamos simplificar:
Note que:
Então:
Fatorando:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é: