Responda às seguintes questões:
c) Se uma função f é descontínua em um ponto
, pode-se afirmar que f não tem limite em
?
c) Se uma função f é descontínua em um ponto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A questão fala sobre uma função
que é descontínua em um ponto
. Precisamos descobrir se, quando isso acontece, podemos afirmar que
não tem limite em
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre limites e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é limite. O limite de uma função
quando
se aproxima de
é o valor que
tende a assumir perto desse ponto, mesmo que
não esteja definido ou tenha outro valor. Em termos matemáticos, escrevemos:
Onde
é o valor do limite.
Passo 3
Agora, sobre continuidade. Uma função é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja,
.
Passo 4
A questão fala que a função
é descontínua em
. Isso significa que pelo menos uma das três condições acima não �� satisfeita. Pode ser que o limite não exista, que a função não esteja definida em
, ou que o limite exista mas seja diferente de
.
Passo 5
Então, queremos saber se essa descontinuidade implica que o limite não existe. Observe que uma descontinuidade pode ocorrer mesmo quando o limite existe, mas é diferente do valor da função no ponto. Por exemplo, considere a função:
Aqui,
, mas o limite quando
se aproxima de 2 é:
A função é descontínua em
porque o limite (2) é diferente de
(5), mas o limite existe.
Passo 6
Portanto, a descontinuidade em
não garante que o limite não exista. Pode ser que o limite exista mas a função não seja contínua porque o valor da função no ponto não coincide com o limite.
Resposta
Não, a descontinuidade em
não implica que a função
não tenha limite nesse ponto. A função pode ser descontínua em
mesmo tendo um limite ali.