Calcule integralC 2 x cos y d x-x^2 sen y d y ao longo dos caminhos C a seguir no plano x y.
O astróide r(t)=(cos ^3 t) i+(sen^3 t) j, no sentido anti-horário de (1,0) de volta a (1,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralC2xcos y,dx ;-; x^2sin y,dy
ao longo do astóide dado por
r(t)=(cos^3t,;sin^3t), tin[0,2pi],
orientado no sentido anti-horário, voltando de (1,0) a (1,0).
O conteúdo envolve integrais de linha de campos vetoriais e o critério de campo conservativo.

Passo 2

Definimos o campo F(x,y)=(P,Q) com
P(x,y)=2xcos y, Q(x,y)=-,x^2sin y
Para verificar se F é conservativo num domínio simplesmente conexo (todo R^2), comparamos
partial Ppartial y =partialpartial y(2xcos y) =-2xsin y,
partial Qpartial x =partialpartial x(-x^2sin y) =-2xsin y
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, F é conservativo.

Passo 3

Buscamos uma função potencial varphi(x,y) tal que
partial varphipartial x=P=2xcos y
Integrando em x:
varphi(x,y)=integral 2xcos y,dx =x^2cos y + g(y),
onde g(y) é função a determinar. Diferenciando em y:
partial varphipartial y =-x^2sin y + g'(y) stackrel!=Q=-x^2sin y
implica g'(y)=0. Logo podemos tomar
varphi(x,y)=x^2cos y

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha para campos conservativos,
integralCFcdot dr =varphil(x(2pi),y(2pi)r) -varphil(x(0),y(0)r)
Como o caminho é fechado ( (x(2pi),y(2pi))=(x(0),y(0))), o resultado é
0

Resposta

O valor da integral é 0.

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