Calcule
sen
ao longo dos caminhos
a seguir no plano
.
O astróide
, no sentido anti-horário de
de volta a
.
O astróide
Passo 1
O enunciado pede para calcular
ao longo do astóide dado por
orientado no sentido anti-horário, voltando de
a
.
O conteúdo envolve integrais de linha de campos vetoriais e o critério de campo conservativo.
O conteúdo envolve integrais de linha de campos vetoriais e o critério de campo conservativo.
Passo 2
Definimos o campo
com
Para verificar se
é conservativo num domínio simplesmente conexo (todo
), comparamos
Como
,
é conservativo.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando em
:
onde
é função a determinar. Diferenciando em
:
implica
. Logo podemos tomar
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha para campos conservativos,
Como o caminho é fechado (
), o resultado é
Resposta
O valor da integral é
.