Obtenha uma solução geral para as seguintes EDOs. Confirme sua resposta por substituição.
( 10 pontos) y^prime prime+9 pi^2 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 9pi^2 y = 0
e pede a solução geral. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
y(x) = e^r x
e substituímos na EDO. Como y'' = r^2 e^r x, a equação fica
r^2 e^r x + 9pi^2 e^r x = 0 Longrightarrow e^r x(r^2 + 9pi^2) = 0
Como e^r xneq 0, obtemos a equação característica
r^2 + 9pi^2 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica r^2 + 9pi^2 = 0 achamos as raízes
r = pm 3pi i
Para esses valores de r, a solução geral em termos de exponenciais é
y(x) = A e^3pi i x + B e^-3pi i x
Usando a fórmula de Euler e garantindo solução real, obtemos
y(x) = C1 cos(3pi x) + C2 sin(3pi x)
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Vamos confirmar por substituição. Seja
y(x) = C1 cos(3pi x) + C2 sin(3pi x)
Então
y'(x) = -3pi C1 sin(3pi x) + 3pi C2 cos(3pi x)
y''(x) = -9pi^2 C1 cos(3pi x) - 9pi^2 C2 sin(3pi x) = -9pi^2,y(x)
Substituindo na EDO,
y'' + 9pi^2 y = -9pi^2 y + 9pi^2 y = 0
o que confirma que a solução satisfaz a equação diferencial.

Resposta

y(x) = C1 cos(3pi x) + C2 sin(3pi x)

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