Obtenha uma solução geral para as seguintes EDOs. Confirme sua resposta por substituição.
( 10 pontos)
( 10 pontos)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede a solução geral. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
e substituímos na EDO. Como
, a equação fica
Como
, obtemos a equação característica
Passo 3
Resolvendo a equação característica
achamos as raízes
Para esses valores de
, a solução geral em termos de exponenciais é
Usando a fórmula de Euler e garantindo solução real, obtemos
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Vamos confirmar por substituição. Seja
Então
Substituindo na EDO,
o que confirma que a solução satisfaz a equação diferencial.