Calcule integralC 2 x cos y d x-x^2 sen y d y ao longo dos caminhos C a seguir no plano x y.
O eixo x de (-1,0) a (1,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC2xcos y,dx - x^2sen y,dy
ao longo do trecho de curva C que é o eixo x de (-1,0) até (1,0).
O conteúdo é integração de campos vetoriais em curva; basta parametrizar C ou, alternativamente, observar que o campo é conservativo.

Passo 2

Parametrizamos C por
x(t)=t, y(t)=0, tin[-1,1]
Então
dx=dt, dy=0,
e a integral fica
integral-1^1l[2xcos yr]y=0,dx =integral-1^12tcdotcos0;dt =2integral-1^1t,dt =2l[tfract^22r]-1^1 =2l(tfrac12-tfrac12r) =0

Passo 3

Como observação, o campo (P,Q)=(2xcos y,,-x^2sen y) satisfaz
partial Ppartial y=-2xsen y e partial Qpartial x=-2xsen y,
logo é conservativo. Uma potencial é
f(x,y)=x^2cos y,
e pelo teorema fundamental de integrais de linha,
integralCP,dx+Q,dy =f(1,0)-f(-1,0) =(1^2cdot1)-((-1)^2cdot1) =1-1=0

Resposta

0

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