Obtenha uma solução geral para as seguintes EDOs. Confirme sua resposta por substituição.
(10 pontos) 2 y^prime prime-8 y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear homogênea com coeficientes constantes
2,y''-8,y'=0
O método que vamos usar é o da equação característica: associamos à EDO um polinômio em r, encontramos suas raízes e depois construímos a solução geral.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando ymapsto e^r x, y'mapsto r e^r x, y''mapsto r^2 e^r x. Assim,
2,r^2 -8,r =0
Colocando em evidência:
2,r(r-4)=0
logo as raízes são
r1=0, r2=4

Passo 3

Como a EDO é de segunda ordem e as raízes da característica são distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^0cdot x + C2 e^4x = C1 + C2 e^4x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora confirmamos por substituição. Seja
y(x)=C1 + C2 e^4x
Então
y'(x)=4,C2 e^4x, y''(x)=16,C2 e^4x
Substituindo na EDO:
2,y'' -8,y' =2l(16,C2 e^4xr);-;8l(4,C2 e^4xr) =32,C2 e^4x-32,C2 e^4x =0,
o que confirma que a solução está correta.

Resposta

y(x)=C1 + C2 e^4x

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