Para a função passo unitário finita simétrica
f(t)= 1, & |t|<1 0, & |t|>1
resolva os seguintes itens:
(c) Use o ítem anterior desse exercício, para verificar que
integral0^infty sen omega cos (omega t)omega d omega= 0, & |t|>1 pi / 4, & |t|=1 pi / 2, & |t|<1

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
O conteúdo principal é o uso da integral conhecida
que foi obtida no item anterior, e uma identidade trigonométrica para escrever .

Passo 2

Usamos a identidade
sinomega;cos(omega t) =12l[sinl((1+t),omegar)+sinl((1-t),omegar)r]
Assim
sinomega;cos(omega t)omega =12,sinl((1+t)omegar)omega +12,sinl((1-t)omegar)omega

Passo 3

Pela linearidade da integral,
integral0^inftysinomega;cos(omega t)omega,domega =12integral0^inftysinl((1+t)omegar)omega,domega +12integral0^inftysinl((1-t)omegar)omega,domega

Passo 4

Aplicando o resultado
com e , obtemos

Passo 5

Agora basta avaliar nos três casos:
  • Se , então e , logo a soma vale e a integral é .
  • Se , um dos termos é positivo e o outro negativo, soma , integral .
  • Se , um dos argumentos é zero (sgn ) e o outro é positivo, soma , integral .

Resposta

integral0^inftysinomega;cos(omega t)omega,domega = 0, & |t|>1, pi/4, & |t|=1, pi/2, & |t|<1

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