Calcule integral duplasigma f(x, y, z) d S, sendo
f(x, y, z)=x y e sigma a intersecção do parabolóide z=x^2+y^2 com o conjunto x^2+y^2 <= 1, y >= 0, x >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplasigma f(x, y, z) dS, onde f(x, y, z) = x y e sigma é a interseção do parabolóide z = x^2 + y^2 com o conjunto x^2 + y^2 <= 1, y >= 0 e x >= 0. Vamos usar cálculo de integrais de superfície, especificamente parametrização em coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A superfície sigma é a parte do parabolóide z = x^2 + y^2 que está dentro do disco x^2 + y^2 <= 1, no primeiro quadrante ( x >= 0, y >= 0). Como a região é circular e está no primeiro quadrante, coordenadas polares são ideais.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas polares:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = r^2
Onde r in [0, 1] e theta in [0, pi2].

Passo 4

A expressão diferencial da superfície dS em coordenadas polares para um parabolóide z = r^2 é dada por:
dS = raiz1 + (partial zpartial r)^2 cdot r , dr , dtheta
Calculando a derivada:
partial zpartial r = 2r
Então:
dS = raiz1 + (2r)^2 cdot r , dr , dtheta = raiz1 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 5

Agora, substituímos f(x, y, z) = x y em coordenadas polares:
f(r, theta) = r cos theta cdot r sin theta = r^2 cos theta sin theta

Passo 6

A integral dupla fica então:
integral duplasigma f(x, y, z) , dS = integral0^pi2 integral0^1 r^2 cos theta sin theta cdot raiz1 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta
Simplificando:
integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta cdot integral0^1 r^3 raiz1 + 4r^2 , dr

Passo 7

Vamos resolver a parte angular primeiro:
integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta
Isso pode ser integrado usando a substituição u = sin theta, du = cos theta dtheta:
integral0^1 u , du = [u^22]0^1 = 12

Passo 8

Agora, vamos resolver a parte com r:
integral0^1 r^3 raiz1 + 4r^2 , dr
Vamos usar a substituição u = 1 + 4r^2, então du = 8r , dr, ou seja, r , dr = du8. Precisamos expressar r^3 dr em termos de u:
r^3 dr = r^2 cdot r , dr = (u - 14) cdot du8 = u - 132 , du
Então a integral vira:
132 integralu=1^5 (u - 1) raizu , du

Passo 9

Agora, expandimos (u - 1)raizu:
(u - 1)raizu = u^3/2 - u^1/2
Então, a integral fica:
132 ( integral1^5 u^3/2 , du - integral1^5 u^1/2 , du )
Integrando termo a termo:
integral u^3/2 , du = 25 u^5/2, integral u^1/2 , du = 23 u^3/2
Portanto:
132 ( 25 [5^5/2 - 1^5/2] - 23 [5^3/2 - 1^3/2] )

Passo 10

Calculando os valores:
5^5/2 = 5^2 cdot 5^1/2 = 25 raiz5, 5^3/2 = 5 raiz5
Substituindo:
132 ( 25 (25 raiz5 - 1) - 23 (5 raiz5 - 1) ) = 132 ( 10 raiz5 - 25 - 103 raiz5 + 23 )
Simplificando:
132 ( (10 - 103) raiz5 + (-25 + 23) ) = 132 ( 203 raiz5 + 415 )

Passo 11

Finalizando a multiplicação:
203 raiz5 cdot 132 = 524 raiz5, 415 cdot 132 = 1120
Então, a parte com r é:
524 raiz5 + 1120

Passo 12

Multiplicando pelas duas partes que tínhamos:
12 cdot ( 524 raiz5 + 1120 ) = 548 raiz5 + 1240

Resposta

A integral dupla vale 548 raiz5 + 1240.

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