Calcule
, sendo
e
a intersecção do parabolóide
com o conjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla
, onde
e
é a interseção do parabolóide
com o conjunto
,
e
. Vamos usar cálculo de integrais de superfície, especificamente parametrização em coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A superfície
é a parte do parabolóide
que está dentro do disco
, no primeiro quadrante (
,
). Como a região é circular e está no primeiro quadrante, coordenadas polares são ideais.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas polares:
Onde
e
.
Passo 4
A expressão diferencial da superfície
em coordenadas polares para um parabolóide
é dada por:
Calculando a derivada:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos
em coordenadas polares:
Passo 6
A integral dupla fica então:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver a parte angular primeiro:
Isso pode ser integrado usando a substituição
,
:
Passo 8
Agora, vamos resolver a parte com
:
Vamos usar a substituição
, então
, ou seja,
. Precisamos expressar
em termos de
:
Então a integral vira:
Passo 9
Agora, expandimos
:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Portanto:
Passo 10
Calculando os valores:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 11
Finalizando a multiplicação:
Então, a parte com
é:
Passo 12
Multiplicando pelas duas partes que tínhamos:
Resposta
A integral dupla vale
.