Calcule ointC[(3 y+z) d x+(x+4 y) d y+(2 x+y) d z], sendo que n aponta para o exterior e C é a curva obtida como interseção da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 com o plano y+z=a.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular a integral de linha ointC[(3 y+z) dx+(x+4 y) dy+(2 x+y) dz], onde C é a curva formada pela interseção da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 com o plano y+z=a. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema de Stokes, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais de superfície. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a integral de linha que temos. A integral ointC F cdot dr representa o trabalho realizado por um campo vetorial F ao longo de uma curva fechada C. No nosso caso, o campo vetorial F é dado por (3y + z, x + 4y, 2x + y).

Passo 3

Agora, para facilitar nossos cálculos, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Esse teorema nos diz que a integral de linha ao redor de uma curva fechada C pode ser convertida em uma integral de superfície sobre uma superfície S limitada por C:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde nabla times F é o rotacional de F e n é o vetor normal à superfície S.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F. O rotacional nabla times F é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y )
Onde F = (P, Q, R). Substituindo:
partial Rpartial y = partial (2x + y)partial y = 1
partial Qpartial z = partial (x + 4y)partial z = 0
partial Ppartial z = partial (3y + z)partial z = 1
partial Rpartial x = partial (2x + y)partial x = 2
partial Qpartial x = partial (x + 4y)partial x = 1
partial Ppartial y = partial (3y + z)partial y = 3
Então,
nabla times F = (1 - 0, 1 - 2, 1 - 3) = (1, -1, -2)

Passo 5

Agora, precisamos escolher uma superfície S cuja borda seja C. Vamos optar pelo disco no plano y + z = a que está dentro da esfera x^2+y^2+z^2=a^2. A normal a essa superfície pode ser encontrada a partir dos coeficientes do plano.
O vetor normal ao plano y + z = a é n = (0, 1, 1). Para obter o vetor normal unitário, dividimos por sua magnitude:
|n| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2
n = (0, 1raiz2, 1raiz2)

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n:
(nabla times F) cdot n = (1, -1, -2) cdot (0, 1raiz2, 1raiz2) = -1 cdot 1raiz2 + (-2) cdot 1raiz2 = -3raiz2

Passo 7

Para prosseguir, precisamos determinar a área da superfície S. A interseção da esfera com o plano resulta em um círculo. Vamos encontrar o raio desse círculo.
Substituindo z = a - y na equação da esfera:
x^2 + y^2 + (a - y)^2 = a^2
x^2 + y^2 + a^2 - 2a y + y^2 = a^2
x^2 + 2y^2 - 2a y = 0
x^2 + 2(y^2 - a y) = 0
Completando o quadrado para y:
y^2 - a y = (y - a2)^2 - a^24
Substituindo de volta:
x^2 + 2((y - a2)^2 - a^24) = 0
x^2 + 2(y - a2)^2 = a^22
Isso descreve um círculo com raio araiz2. A área A desse círculo é:
A = pi (araiz2)^2 = pi a^22

Passo 8

Agora, aplicamos o Teorema de Stokes para encontrar a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = (-3raiz2) times pi a^22 = -3 pi a^22 raiz2

Passo 9

Porém, notamos que o vetor normal estava normalizado, e a expressão final precisava simplificar. Multiplicando os termos:
-3raiz2 times pi a^22 = -3 pi a^22 raiz2
Para simplificar a resposta, racionalizamos o denominador:
-3 pi a^22 raiz2 = -3 pi a^22 raiz2 times raiz2raiz2 = -3 pi a^2 raiz24

Resposta

A integral calculada é -dfrac34 pi a^2.

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