Calcule
, sendo que
aponta para o exterior e
é a curva obtida como interseção da esfera
com o plano
.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular a integral de linha
, onde
é a curva formada pela interseção da esfera
com o plano
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema de Stokes, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais de superfície. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a integral de linha que temos. A integral
representa o trabalho realizado por um campo vetorial
ao longo de uma curva fechada
. No nosso caso, o campo vetorial
é dado por
.
Passo 3
Agora, para facilitar nossos cálculos, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Esse teorema nos diz que a integral de linha ao redor de uma curva fechada
pode ser convertida em uma integral de superfície sobre uma superfície
limitada por
:
Onde
é o rotacional de
e
é o vetor normal à superfície
.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional
é dado por:
Onde
. Substituindo:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos escolher uma superfície
cuja borda seja
. Vamos optar pelo disco no plano
que está dentro da esfera
. A normal a essa superfície pode ser encontrada a partir dos coeficientes do plano.
O vetor normal ao plano
é
. Para obter o vetor normal unitário, dividimos por sua magnitude:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 7
Para prosseguir, precisamos determinar a área da superfície
. A interseção da esfera com o plano resulta em um círculo. Vamos encontrar o raio desse círculo.
Substituindo
na equação da esfera:
Completando o quadrado para
:
Substituindo de volta:
Isso descreve um círculo com raio
. A área
desse círculo é:
Passo 8
Agora, aplicamos o Teorema de Stokes para encontrar a integral de superfície:
Passo 9
Porém, notamos que o vetor normal estava normalizado, e a expressão final precisava simplificar. Multiplicando os termos:
Para simplificar a resposta, racionalizamos o denominador:
Resposta
A integral calculada é
.