Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para a função
que a gente determine o domínio, a imagem (ou conjunto-alvo) e faça um esboço do seu gráfico. O conteúdo é análise de funções polinomiais de grau ímpar, usando continuidade, comportamento nos extremos e simetria ímpar.
Passo 2
Para achar o domínio de uma função polinomial não há restrição de divisão por zero ou raiz de índice par de número negativo: qualquer valor de
pode ser inserido em
. Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Passo 3
Como
é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo, ele é contínuo em todo
e satisfaz
Isso mostra que a função atinge valores arbitrariamente grandes e arbitrariamente pequenos, de modo que a imagem também é todo o conjunto dos reais:
Passo 4
O gráfico de
é uma curva suave, estritamente crescente, com ponto de inflexão na origem. Alguns pontos-chaves são
,
e
. A curva é simétrica em relação à origem (propriedade de função ímpar). Para esboçar:
– Desenhe eixos cartesianos.
– Marque e ligue suavemente ,
e
.
– Para ,
cresce rápido (a inclinação aumenta).
– Para ,
decresce rápido (a inclinação negativa aumenta em módulo).
O esboço fica com formato de “S” atravessando a origem, subindo à direita e descendo à esquerda.
– Marque e ligue suavemente
– Para
– Para
O esboço fica com formato de “S” atravessando a origem, subindo à direita e descendo à esquerda.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: curva estritamente crescente, com ponto de inflexão em , passando por
,
,
e com simetria ímpar em relação à origem.
Imagem:
Gráfico: curva estritamente crescente, com ponto de inflexão em