Calcule
sendo dados:
e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular a integral dupla
, onde a função
é dada por
. A região
é definida por
com as condições
,
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para
e
dentro da região
e, em seguida, calcular a integral dupla passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as condições que definem a região
. Temos:
Da segunda condição,
, podemos rearranjar para
. Fatorando, temos
. Isso acontece quando
. A terceira condição,
, já está satisfeita se
, porque
é maior que 1. Portanto, a região
é definida por:
E, para
, olhando para as condições, parece que
está limitado entre
e
. Então:
Passo 3
Agora que já entendemos os limites de integração, vamos configurar a integral dupla. A integral será:
Isso significa que vamos primeiro integrar em relação a
, de
até
, e depois em relação a
, de
até
.
Passo 4
Vamos começar integrando a função
em relação a
. Como
é tratado como uma constante em relação a
, a integral interna fica:
A integral de
em relação a
é
. Então:
Sabemos que
, então simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos reescrever isso como:
Essa integral pode ser resolvida usando substituição. Vamos definir
, então
, ou seja,
.
Passo 6
Fazendo a substituição, a integral se torna:
A integral de
é
. Então:
Simplificando:
Resposta
A integral dupla
vale
.