Calcule integralegral duplaB f(x, y) d A sendo dados:
f(x, y)=x cos y e B=(x, y) in R^2 mid x >= 0, x^2 <= x <= pi

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular a integral dupla integral duplaB f(x, y) , dA, onde a função f(x, y) é dada por f(x, y) = x cos y. A região B é definida por (x, y) in R^2 com as condições x >= 0, x^2 <= x e x <= pi.
Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para x e y dentro da região B e, em seguida, calcular a integral dupla passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as condições que definem a região B. Temos:
  1. x >= 0
  2. x^2 <= x
  3. x <= pi
Da segunda condição, x^2 <= x, podemos rearranjar para x^2 - x <= 0. Fatorando, temos x(x - 1) <= 0. Isso acontece quando 0 <= x <= 1. A terceira condição, x <= pi, já está satisfeita se x <= 1, porque pi approx 3.1416 é maior que 1. Portanto, a região B é definida por:
  • 0 <= x <= 1
E, para y, olhando para as condições, parece que y está limitado entre x^2 e pi. Então:
  • x^2 <= y <= pi

Passo 3

Agora que já entendemos os limites de integração, vamos configurar a integral dupla. A integral será:
integral duplaB x cos y , dA = integralx=0^1 integraly=x^2^pi x cos y , dy , dx
Isso significa que vamos primeiro integrar em relação a y, de y = x^2 até y = pi, e depois em relação a x, de x = 0 até x = 1.

Passo 4

Vamos começar integrando a função x cos y em relação a y. Como x é tratado como uma constante em relação a y, a integral interna fica:
integraly=x^2^pi x cos y , dy = x integraly=x^2^pi cos y , dy
A integral de cos y em relação a y é sin y. Então:
x [ sin y ]y=x^2^pi = x (sin pi - sin x^2)
Sabemos que sin pi = 0, então simplificando:
x (0 - sin x^2) = -x sin x^2

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralx=0^1 -x sin x^2 , dx
Podemos reescrever isso como:
- integral0^1 x sin x^2 , dx
Essa integral pode ser resolvida usando substituição. Vamos definir u = x^2, então du = 2x , dx, ou seja, du2 = x , dx.

Passo 6

Fazendo a substituição, a integral se torna:
- integralu=0^1 12 sin u , du = -12 integral0^1 sin u , du
A integral de sin u é - cos u. Então:
- 12 [ -cos u ]0^1 = -12 ( -cos 1 + cos 0 ) = -12 ( -cos 1 + 1 )
Simplificando:
- 12 (1 - cos 1) = 12 (cos 1 - 1)

Resposta

A integral dupla integral duplaB x cos y , dA vale dfrac12 (cos 1 - 1).

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