Considere o conjunto de funções:
F=1, cos (pi xL), cos (2 pi xL), ldots cos (m pi xL), ldots, sen(pi xL), sen(2 pi xL), ldots sen(m pi xL), ldots
onde L in R+^*.
integral-L^L cos (m pi xL) cos (n pi xL) d x=L de<am n

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto
F=1,;cosl(tfracpi xLr),;cosl(tfrac2pi xLr),;dots,;cosl(tfracmpi xLr),;dots,;sinl(tfracpi xLr),;sinl(tfrac2pi xLr),;dots,;sinl(tfracmpi xLr),;dots
e pede para mostrar a ortogonalidade das funções em [-L,L], isto é, provar
integral-L^Lcos!l(tfracmpi xLr),cos!l(tfracnpi xLr),dx = L,de<amn
Para isso vamos usar identidade produto-para-soma e tratar os casos mneq n e m=n.

Passo 2

Quando mneq n, aplicamos a identidade
cos Acos B=tfrac12l[cos(A+B)+cos(A-B)r]
com A=tfracmpi xL e B=tfracnpi xL. Então
integral-L^Lcos!l(tfracmpi xLr)cos!l(tfracnpi xLr),dx =tfrac12integral-L^Lcos!l(tfrac(m+n)pi xLr),dx +tfrac12integral-L^Lcos!l(tfrac(m-n)pi xLr),dx

Passo 3

Cada integral do tipo integral-L^Lcos!l(tfrackpi xLr)dx com kneq0 vale zero, pois
integral-L^Lcos!l(tfrackpi xLr),dx =Lkpisin!l(tfrackpi xLr)|-L^L =Lkpil[sin(kpi)-sin(-kpi)r] =0
Logo para mneq n toda a soma é zero.

Passo 4

Quando m=n, reescrevemos
cos^2!l(tfracmpi xLr) =tfrac12l[1+cos!l(tfrac2mpi xLr)r]
e integramos:
integral-L^Lcos^2!l(tfracmpi xLr),dx =tfrac12integral-L^L1,dx +tfrac12integral-L^Lcos!l(tfrac2mpi xLr),dx =tfrac12cdot2L+0 =L

Passo 5

Combinando ambos os casos concluímos
integral-L^Lcos!l(tfracmpi xLr)cos!l(tfracnpi xLr),dx = 0,&mneq n, L,&m=n,
ou seja
integral-L^Lcos!l(tfracmpi xLr)cos!l(tfracnpi xLr),dx = L,de<amn

Resposta

integral-L^Lcos!l(tfracmpi xLr)cos!l(tfracnpi xLr),dx = L,de<amn

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