Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a de séries infinitas, especificamente séries alternadas. Para resolver, vamos precisar entender o Teste da Série Alternada e também verificar o comportamento da série absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a série é alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal a cada termo, ou seja, têm a forma ou multiplicando uma expressão. No nosso caso, temos , então sim, é uma série alternada.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que uma série alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
Os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero.
O limite de quando tende ao infinito é zero.
Vamos verificar cada uma dessas condições para .
Passo 4
Primeiro, os termos são positivos para todo , pois tanto o numerador quanto o denominador são positivos.
Passo 5
Segundo, vamos verificar se é uma sequência decrescente. Para isso, observamos que conforme aumenta, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador , fazendo com que diminua. Então, é decrescente.
Passo 6
Terceiro, calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Então, o limite é zero.
Passo 7
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.
Passo 8
No entanto, para completar, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa analisar a série dos valores absolutos:
Para isso, comparamos com a série sum 1n, que é uma série p com p = 1 e que sabemos que diverge.
Passo 9
Como a série dos valores absolutos diverge, isso significa que a série original não converge absolutamente, mas como já vimos que converge pelo Teste da Série Alternada, concluímos que a série converge condicionalmente.
Resposta
A série sumn=1^infty(-1)^n-1 nn^2+1converge condicionalmente.