Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n-1 nn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty(-1)^n-1 nn^2+1 converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a de séries infinitas, especificamente séries alternadas. Para resolver, vamos precisar entender o Teste da Série Alternada e também verificar o comportamento da série absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a série é alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal a cada termo, ou seja, têm a forma (-1)^n ou (-1)^n-1 multiplicando uma expressão. No nosso caso, temos (-1)^n-1 nn^2+1 , então sim, é uma série alternada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que uma série alternada sum (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são positivos, decrescentes e tendem a zero.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero.
Vamos verificar cada uma dessas condições para an = nn^2+1.

Passo 4

Primeiro, os termos an = nn^2+1 são positivos para todo n, pois tanto o numerador quanto o denominador são positivos.

Passo 5

Segundo, vamos verificar se an é uma sequência decrescente. Para isso, observamos que conforme n aumenta, o denominador n^2+1 cresce muito mais rápido que o numerador n, fazendo com que an diminua. Então, an é decrescente.

Passo 6

Terceiro, calculamos o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty nn^2+1 = limn to infty 1n + 1n = 0
Então, o limite é zero.

Passo 7

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série sumn=1^infty(-1)^n-1 nn^2+1 converge.

Passo 8

No entanto, para completar, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 nn^2+1 | = sumn=1^infty nn^2+1
Para isso, comparamos com a série sum 1n, que é uma série p com p = 1 e que sabemos que diverge.

Passo 9

Como a série dos valores absolutos diverge, isso significa que a série original não converge absolutamente, mas como já vimos que converge pelo Teste da Série Alternada, concluímos que a série converge condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1 nn^2+1 converge condicionalmente.

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