Considere o conjunto de funções:
F=1, cos (pi xL), cos (2 pi xL), ldots cos (m pi xL), ldots, sen(pi xL), sen(2 pi xL), ldots sen(m pi xL), ldots
onde L in R+^*.
integral-L^L cos (m pi xL) sen(n pi xL) d x=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para m,ninN,
integral-L^Lcos!l(tfracmpi xLr),sin!l(tfracnpi xLr),dx=0
Isso envolve a ortogonalidade das funções trigonométricas em intervalos simétricos e o uso de paridade de funções.

Passo 2

Repare que
cos!l(tfracmpi xLr) é uma função par (isto é, f(-x)=f(x)) e
sin!l(tfracnpi xLr) é uma função ímpar (isto é, g(-x)=-g(x)).
O produto de uma função par por uma função ímpar é ímpar.
Logo, a integranda
h(x)=cos!l(tfracmpi xLr),sin!l(tfracnpi xLr)
é ímpar, isto é, h(-x)=-h(x). Pela propriedade de integrais de funções ímpares em intervalos simétricos, tem-se
integral-L^Lh(x),dx=0

Resposta

0

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