Considere o conjunto de funções:
F=1, cos (pi xL), cos (2 pi xL), ldots cos (m pi xL), ldots, sen(pi xL), sen(2 pi xL), ldots sen(m pi xL), ldots
onde L in R+^*.
integral-L^L sen(m pi xL) sen(n pi xL) d x=L de<am n

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto
F=l,1,;cos!l(tfracpi xLr),;cos!l(tfrac2pi xLr),dots,cos!l(tfracmpi xLr),dots,sin!l(tfracpi xLr),;sin!l(tfrac2pi xLr),dots,sin!l(tfracmpi xLr),dotsr
em que L>0, e dá a integral
integral-L^Lsin!l(tfracmpi xLr),sin!l(tfracnpi xLr),dx = L,de<amn
O objetivo é mostrar que todo par distinto de funções em F tem produto interno zero e achar as constantes de normalização. Vamos usar propriedades de paridade e as identidades de produto-para-soma.

Passo 2

Calcular
Icc=integral-L^Lcos!l(tfracmpi xLr),cos!l(tfracnpi xLr),dx
Usamos a identidade
cos Acos B=tfrac12l[cos(A-B)+cos(A+B)r]
Logo
Icc =tfrac12integral-L^Lcos!l(tfrac(m-n)pi xLr),dx +tfrac12integral-L^Lcos!l(tfrac(m+n)pi xLr),dx
Cada integral de cos(kpi x/L) sobre [-L,L] com kneq0 vale zero porque
integral-L^Lcos(kpi x/L),dx =l[tfracLkpisin(kpi x/L)r]-L^L=0.
Se m=n então na primeira parte k=0 e cos0=1, dando
Icc=tfrac12integral-L^L1,dx +tfrac12underbraceintegral-L^Lcos!l(tfrac2mpi xLr),dx0 =tfrac12cdot2L=L
Portanto
integral-L^Lcos!l(tfracmpi xLr)cos!l(tfracnpi xLr),dx =L,de<amn

Passo 3

Calcular
Isc=integral-L^Lsin!l(tfracmpi xLr),cos!l(tfracnpi xLr),dx
Usamos
sin Acos B=tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
Cada termo sin(kpi x/L) é função ímpar em x, logo sua integral sobre [-L,L] é zero. Assim
integral-L^Lsin!l(tfracmpi xLr)cos!l(tfracnpi xLr),dx=0 forall,m,n>=1

Passo 4

Calcular os produtos com a função constante 1. Primeiro
integral-L^L1cdotcos!l(tfracmpi xLr),dx =l[tfracLmpisin!l(tfracmpi xLr)r]-L^L =0
pois sin(mpi)=sin(-mpi)=0. Em seguida
integral-L^L1cdotsin!l(tfracmpi xLr),dx
é integral de função ímpar sobre intervalo simétrico, logo também é zero. Por fim
integral-L^L1cdot1,dx=2L

Passo 5

A integral
integral-L^Lsin!l(tfracmpi xLr),sin!l(tfracnpi xLr),dx =L,de<amn
já foi fornecida pelo enunciado.

Resposta

As relações de ortogonalidade e normalização em [-L,L] são
integral-L^L1cdot1,dx=2L,
integral-L^L1cdotcos!l(tfracmpi xLr),dx =integral-L^L1cdotsin!l(tfracmpi xLr),dx=0,
integral-L^Lcos!l(tfracmpi xLr)cos!l(tfracnpi xLr),dx =integral-L^Lsin!l(tfracmpi xLr)sin!l(tfracnpi xLr),dx =L,de<amn,
integral-L^Lsin!l(tfracmpi xLr)cos!l(tfracnpi xLr),dx=0
Dessa forma o conjunto F é ortogonal em [-L,L] com as constantes de normalização indicadas acima.

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