Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y sendo dados por:
f(x, y)=x y cos (x^2) e B=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 1, x^2 <= y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaBf(x,y),dx,dy,
onde f(x,y)=x,ycosl(x^2r) e
B=l(x,y)inR^2mid 0<= x<=1,;x^2<= y<=1r
O conteúdo aqui é integração iterada em coordenadas cartesianas, integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada em y primeiro:
integral duplaBf(x,y),dx,dy =integralx=0^1l[integraly=x^2^1x,ycosl(x^2r),dyr]dx
Como cos(x^2) não depende de y, fatoramos xcos(x^2) para fora da integral interna:
integraly=x^2^1x,ycosl(x^2r),dy =xcosl(x^2r)integraly=x^2^1y,dy =xcosl(x^2r),12l(1-(x^2)^2r)
Logo a integral vira
integral duplaBf,dx,dy =12integral0^1xl(1-x^4r)cosl(x^2r),dx

Passo 3

Separamos em duas integrais mais simples:
12integral0^1xl(1-x^4r)cosl(x^2r),dx =12l[integral0^1xcosl(x^2r),dx -integral0^1x^5cosl(x^2r),dxr]
Usamos a substituição u=x^2, de modo que du=2x,dx e x,dx=du/2.
  1. Para a primeira integral:
integral0^1xcosl(x^2r),dx =12integral0^1cos(u),du =12l[sin(u)r]0^1 =12sin(1)
  1. Para a segunda integral, note que x^5=x^4cdot x=(u^2)cdot x, logo
integral0^1x^5cosl(x^2r),dx =integral0^1u^2cos(u),du2 =12integral0^1u^2cos(u),du

Passo 4

Calculamos agora integral0^1u^2cos(u),du por partes duas vezes.
Escolhendo A=u^2, dB=cos(u),du
integral u^2cos(u),du =u^2sin(u)-integral 2usin(u),du
Nesta segunda integral, tomamos C=2u, dD=sin(u),du, dando
integral 2usin(u),du =-2ucos(u)+2integralcos(u),du =-2ucos(u)+2sin(u)
Substituindo de volta e avaliando de 0 a 1:
integral0^1u^2cos(u),du =l[u^2sin(u)+2ucos(u)-2sin(u)r]0^1 =l(sin(1)+2cos(1)-2sin(1)r) =2cos(1)-sin(1)

Passo 5

Voltando à integral original:
integral duplaBf,dx,dy =12l[tfrac12sin(1)-tfrac12l(2cos(1)-sin(1)r)r] =14sin(1)-14(2cos(1)-sin(1)) =12l(sin(1)-cos(1)r)

Resposta

boxedintegral duplaBf(x,y),dx,dy =12l(sin(1)-cos(1)r)

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