Seja a ED de Bessel de ordem alpha dada por: x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-alpha^2) y=0, alpha=1 / 2. Usando o método de Frobenius (mesmas etapas da questão anterior), solucione esta ED. Note que como para esse exemplo temos |s1-s2|=1, então a solução da ED para o menor valor de sserá a solução geral da ED e dada por:
Para(s=-1 / 2), y(x)=C0 x^-1 / 2[1-x^22+x^44.3 2-ldots]+C1 x^-1 / 2[x-x^33.2+x^55.4 3 2-ldots]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial (ED) de Bessel de ordem alpha = 12:
x^2 y'' + x y' + (x^2 - alpha^2) y = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é o Método de Frobenius, que é uma técnica para resolver EDs de segunda ordem perto de pontos singulares. A gente vai precisar entender como montar a série de potências e achar os coeficientes que resolvem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Método de Frobenius. A ideia é assumir que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências de $ x $ multiplicada por $ x^{s} $:
y(x)
Aqui, $ s $ é o expoente inicial que vamos determinar, e $ a_{n} $ são os coeficientes da série.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de $ y(x) $:
y(x)
y'(x) = sumn=0^infty an (s + n) x^s + n -1
Essas derivadas vão ser substituídas na equação original.

Passo 4

Substituindo $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na ED de Bessel:
y(x)
Simplificando os termos:
y'(x)

Passo 5

Para simplificar, vamos igualar os coeficientes de $ x^{s + n} $ a zero. Primeiro, ajustamos os índices para que todas as séries tenham potências similares:
x^s + n
Reorganizando:
sumn=0^infty [ an (s + n)(s + n -1) + an (s + n) - alpha^2 an ] x^s + n + sumn=0^infty an x^s + n + 2 = 0
Agora, para que a equação seja igual a zero para todo $ x $, cada coeficiente deve ser zero:
sumn=0^infty [ an (s^2 + 2sn + n^2 - alpha^2) ] x^s + n + sumn=2^infty an-2 x^s + n = 0

Passo 6

Primeiro, encontramos o valor de $ s $ pela equação indicial, que é obtida considerando os menores potes de $ n $, geralmente $ n = 0 $:
s
Como $ a_{0} \neq 0 $ (pois é o termo principal), temos:
n
Com $ \alpha = \frac{1}{2} $, os valores de $ s $ são:
n = 0

Passo 7

Como $ |s_1 - s_2| = 1 $ (onde $ s_1 = \frac{1}{2} $ e $ s_2 = -\frac{1}{2} $), a solução geral será a combinação das séries para ambos os valores de $ s $. Ou seja:
|s1 - s2| = 1
Aqui, $ C_{0} $ e $ C_{1} $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

Resposta

A solução geral da ED de Bessel de ordem alpha = 12 usando o método de Frobenius é:
y(x) = C0 x^-1/2 [1 - x^22 + x^44 cdot 3 cdot 2 - ldots ] + C1 x^-1/2 [x - x^33 cdot 2 + x^55 cdot 4 cdot 3 cdot 2 - ldots ]
Onde $ C_{0} $ e $ C_{1} $ são constantes arbitrárias.

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