Seja a ED de Bessel de ordem
dada por:
. Usando o método de Frobenius (mesmas etapas da questão anterior), solucione esta ED. Note que como para esse exemplo temos
, então a solução da ED para o menor valor de sserá a solução geral da ED e dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial (ED) de Bessel de ordem
:
O conteúdo que vamos usar aqui é o Método de Frobenius, que é uma técnica para resolver EDs de segunda ordem perto de pontos singulares. A gente vai precisar entender como montar a série de potências e achar os coeficientes que resolvem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Método de Frobenius. A ideia é assumir que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências de $ x $ multiplicada por $ x^{s} $:
Aqui, $ s $ é o expoente inicial que vamos determinar, e $ a_{n} $ são os coeficientes da série.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de $ y(x) $:
Essas derivadas vão ser substituídas na equação original.
Passo 4
Substituindo $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na ED de Bessel:
Simplificando os termos:
Passo 5
Para simplificar, vamos igualar os coeficientes de $ x^{s + n} $ a zero. Primeiro, ajustamos os índices para que todas as séries tenham potências similares:
Reorganizando:
Agora, para que a equação seja igual a zero para todo $ x $, cada coeficiente deve ser zero:
Passo 6
Primeiro, encontramos o valor de $ s $ pela equação indicial, que é obtida considerando os menores potes de $ n $, geralmente $ n = 0 $:
Como $ a_{0} \neq 0 $ (pois é o termo principal), temos:
Com $ \alpha = \frac{1}{2} $, os valores de $ s $ são:
Passo 7
Como $ |s_1 - s_2| = 1 $ (onde $ s_1 = \frac{1}{2} $ e $ s_2 = -\frac{1}{2} $), a solução geral será a combinação das séries para ambos os valores de $ s $. Ou seja:
Aqui, $ C_{0} $ e $ C_{1} $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.
Resposta
A solução geral da ED de Bessel de ordem
usando o método de Frobenius é:
Onde $ C_{0} $ e $ C_{1} $ são constantes arbitrárias.