Determine a derivada das funçōes:
f(x)=(3 x+9)^1 / x+tg(raizx^2+1)+7^x+e^ln (x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=(3x+9)^1/x+tanl(raizx^2+1r)+7^x+e^lnl(x^2r)
Vamos usar:
– log-diferenciação para (3x+9)^1/x,
– regra da cadeia para tan(raizx^2+1),
– a fórmula de derivada de a^x para 7^x,
– simplificação de e^ln(x^2).

Passo 2

Seja
y=(3x+9)^1/x
Tomamos logaritmo e diferenciamos:
ln y=1xln(3x+9) Longrightarrow y'y =-ln(3x+9)x^2+1xcdot33x+9 =-ln(3x+9)x^2+1x(x+3)
Logo,
y'=(3x+9)^1/xl(-ln(3x+9)x^2+1x(x+3)r)

Passo 3

Para
g(x)=tanl(raizx^2+1r),
usamos a regra da cadeia. Primeiro ddxraizx^2+1=xraizx^2+1. Então
g'(x) =sec^2l(raizx^2+1r)cdotxraizx^2+1 =xraizx^2+1;sec^2l(raizx^2+1r)

Passo 4

Para
h(x)=7^x,
a derivada é
h'(x)=7^xln7

Passo 5

Para
k(x)=e^ln(x^2),
observamos que e^ln(x^2)=x^2. Logo
k'(x)=2x

Passo 6

Somando tudo, a derivada de f é
f'(x) =(3x+9)^1/xl(-ln(3x+9)x^2+1x(x+3)r) +xraizx^2+1sec^2l(raizx^2+1r) +7^xln7 +2x

Resposta

f'(x) =(3x+9)^1/xl(-ln(3x+9)x^2+1x(x+3)r) +xraizx^2+1sec^2l(raizx^2+1r) +7^xln7 +2x

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