Determine a derivada das funçōes:
f(x)=arctg(x^2)+ln (x^2019+12+cos x)+x^x^2;

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Derivar a função
f(x)=arctg(x^2)+ln(x^2019+12+cos x)+x^x^2.
O conteúdo envolve derivadas de funções compostas, logaritmos e potenciação com expoente variável.

Passo 2

Para arctg(x^2), aplicamos a regra da cadeia. Seja u=x^2. Sabemos que
ddxarctg(u)=u'1+u^2
Aqui u'=2x e 1+u^2=1+x^4, logo
ddxarctg(x^2)=2x1+x^4

Passo 3

Para lnl((x^2019+1)/(2+cos x)r), usamos a propriedade
lnAB=ln A-ln B
Com A=x^2019+1 e B=2+cos x, temos
ddxln A=A'A=2019x^2018x^2019+1,
ddxln B=B'B=-sin x2+cos x
Subtraindo, obtemos
ddxln(x^2019+12+cos x)=2019x^2018x^2019+1+sin x2+cos x

Passo 4

Para x^x^2, fazemos a diferenciação via logaritmo. Defina g(x)=x^x^2. Então
ln g(x)=x^2ln x
Derivando ambos os lados,
g'g=ddx(x^2ln x)=2xln x+x^2cdot1x=2xln x+x
Multiplicando por g=x^x^2,
g'(x)=x^x^2(2xln x+x)

Resposta

f'(x)=2x1+x^4+2019x^2018x^2019+1+sin x2+cos x+x^x^2(2xln x+x)

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