Considere a funçao f:[-1, infty) R deinida por
f(x)=raizx+1-x
(a) Use a definição de derivada para calcular f^prime(0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por f(x) = raizx + 1 - x e o objetivo é calcular a derivada dessa função no ponto x = 0 usando a definição de derivada. Isso está ligado ao estudo de derivadas, que nos ajuda a entender como uma função está mudando naquele ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função f no ponto a é dada por:
f'(a) = limh to 0 f(a + h) - f(a)h
No nosso caso, queremos encontrar f'(0) , então vamos substituir a por 0:
f'(0) = limh to 0 f(0 + h) - f(0)h

Passo 3

Agora, vamos calcular f(0 + h) e f(0) .
  • Substituindo x = h na função:
f(h) = raizh + 1 - h
  • Calculando f(0) :
f(0) = raiz0 + 1 - 0 = raiz1 - 0 = 1

Passo 4

Substituindo f(h) e f(0) na fórmula da derivada:
f'(0) = limh to 0 raizh + 1 - h - 1h
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do limite.

Passo 5

Vamos separar os termos no numerador:
raizh + 1 - 1h - hh = raizh + 1 - 1h - 1
Então, temos:
f'(0) = limh to 0 ( raizh + 1 - 1h - 1 )

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite separadamente:
  1. Primeiro, calculamos limh to 0 raizh + 1 - 1h . Sabemos que essa expressão é a derivada de raizx + 1 no ponto x = 0 , que é 12raiz1 = 12 .
  2. Em seguida, temos limh to 0 (-1) = -1 .
Portanto:
f'(0) = 12 - 1 = -12

Resposta

A derivada de f no ponto 0 é f'(0) = -12 .

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