Considere a funçao
deinida por
(a) Use a definição de derivada para calcular
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por
e o objetivo é calcular a derivada dessa função no ponto
usando a definição de derivada. Isso está ligado ao estudo de derivadas, que nos ajuda a entender como uma função está mudando naquele ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
no ponto
é dada por:
No nosso caso, queremos encontrar
, então vamos substituir
por 0:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
.
- Substituindo
na função:
- Calculando
:
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula da derivada:
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do limite.
Passo 5
Vamos separar os termos no numerador:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite separadamente:
-
Primeiro, calculamos
. Sabemos que essa expressão é a derivada de no ponto , que é . -
Em seguida, temos
.
Portanto:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.