Calcule integralgammalang<= F, nrang<= d t sendo dados
F(x, y)=(0, y), gamma a fronteira do quadrado de vértices (0,0),(1,0),(1,1),(0,1) e n a normal unitária que aponta para fora do quadrado, sendo gamma orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo
integralgammalang<= F,nrang<=,dt
onde F(x,y)=(0,y), gamma é a fronteira do quadrado com vértices (0,0),(1,0),(1,1),(0,1) orientada no sentido anti-horário, e n é a normal unitária apontando para fora.
Conteúdo aplicado: Teorema de Green na forma fluxo-divergência.

Passo 2

Pelo Teorema de Green (fluxo–divergência) temos
ointpartial Dlang<= F,nrang<=,ds =integral duplaD(nablacdot F),dA,
onde D é o quadrado interior a gamma.

Passo 3

Calculamos a divergência de F:
nablacdot F =partialpartial x(0)+partialpartial y(y) =0+1 =1

Passo 4

Integramos sobre o quadrado D=[0,1]times[0,1]:
integral duplaD1,dA =integral0^1integral0^11,dx,dy =1cdot1 =1

Resposta

integralgammalang<= F,nrang<=,dt = 1

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