Seja S=x^2-2 x+1, x-1, x^2+1.
q(x)=-x^2-4 x+1 in Ger(S)?

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço gerado pelo conjunto
e pergunta se
pertence a . Para isso, precisamos ver se existe combinação linear
para alguns escalares .

Passo 2

Supondo
q(x) = a,(x^2-2x+1) + b,(x-1) + c,(x^2+1),
vamos expandir o lado direito e agrupar os termos em x^2, x e termo constante.

Passo 3

Expandindo e coletando coeficientes, obtemos
a,x^2 - 2a,x + a ;+; b,x - b ;+; c,x^2 + c =;(a+c),x^2 + (-2a+b),x + (a - b + c)

Passo 4

Para coincidir com
precisamos resolver o sistema
Da segunda equação
Com
segue e . Então .

Passo 5

Achamos que
q(x) = 1,(x^2-2x+1) ;-;2,(x-1) ;-;2,(x^2+1),
ou seja, existem a=1, b=-2, c=-2 que expressam q como combinação linear dos polinômios de S.

Resposta

Sim. Temos
então .

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