Considere o conjunto
S=(2,1,1),(1,-1,1),(3,0,2)
v=(8,4,8) in Ger(S)?

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = (2,1,1),,(1,-1,1),,(3,0,2)
e o vetor
v = (8,4,8)
A pergunta é se v pertence à geradora de S, ou seja, se existe combinação linear dos vetores de S que resulte em v. Para resolver, vamos montar um sistema linear cujas incógnitas são os coeficientes dessa combinação.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,(2,1,1);+;beta,(1,-1,1);+;gamma,(3,0,2);=;(8,4,8)
Igualando componente a componente, obtemos o sistema
2alpha + beta + 3gamma = 8, alpha - beta + 0gamma = 4, alpha + beta + 2gamma = 8

Passo 3

Da segunda equação segue
alpha - beta = 4 Longrightarrow beta = alpha - 4
Substituindo em 2alpha + beta + 3gamma = 8
2alpha + (alpha-4) + 3gamma = 8 ;Longrightarrow; 3alpha -4 +3gamma =8 ;Longrightarrow; 3alpha +3gamma =12 ;Longrightarrow; gamma = 4 - alpha

Passo 4

Agora substituímos beta=alpha-4 e gamma=4-alpha na terceira equação alpha + beta + 2gamma =8:
alpha + (alpha-4) +2(4-alpha) =8 ;Longrightarrow; 2alpha -4 +8 -2alpha =8 ;Longrightarrow; 4 = 8,
que é uma contradição. Logo, não há escolha de alpha,beta,gamma que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

Não. O vetor v=(8,4,8) não pertence a Ger(S).

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