Determine o comprimento de arco das seguinte curvas:
x(t)=2(1-sen(t)), y(t)=2(1-cos (t)), 0 <= t <= pi.

Passo 1

Resumindo, queremos o comprimento de arco da curva paramétrica
x(t)=2l(1-sin(t)r), y(t)=2l(1-cos(t)r)
no intervalo 0<= t<= pi. O conteúdo que vamos usar é a fórmula de comprimento de arco de uma curva paramétrica:
L = integral0^pi raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t). Temos
x'(t)=2ddtl(1-sin(t)r)=-2cos(t),
y'(t)=2ddtl(1-cos(t)r)=2sin(t)

Passo 3

Montamos o integrando somando os quadrados das derivadas e extraindo a raiz:
raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =raiz(-2cos(t))^2+(2sin(t))^2 =raiz4cos^2(t)+4sin^2(t) =2

Passo 4

Como o integrando é constante igual a 2, a integral fica
L = integral0^pi2,dt =2l[tr]0^pi =2pi

Resposta

O comprimento de arco da curva é 2pi.

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