Seja F(x, y, z)=(0,0, x+y+z^2) e sigma a fronteira do cilindro x^2+y^2 <= 4 e 0 <= z <= 3. Calcule integral duplasigmalang<= F, nrang<= d S onde n é a normal unitária que aponta para fora do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para calcular a integral de fluxo de um campo vetorial F(x, y, z) = (0, 0, x + y + z^2) sobre a superfície sigma , que é a fronteira de um cilindro definido por x^2 + y^2 <= 4 e 0 <= z <= 3 . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência. Para resolver isso, vamos precisar calcular a divergência de F e aplicar o teorema para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada sigma com a integral dupla da divergência desse campo sobre o volume V limitado por sigma . A fórmula é:
integral duplasigma lang<= F, n rang<= dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Então, ao invés de calcular a integral de fluxo diretamente pela superfície, a gente calcula a integral da divergência no volume, que geralmente é mais fácil.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F . A divergência de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso, F = (0, 0, x + y + z^2) , então:
nabla cdot F = partial 0partial x + partial 0partial y + partial (x + y + z^2)partial z = 0 + 0 + 2z = 2z

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral tripla sobre o volume do cilindro. O cilindro é definido por x^2 + y^2 <= 4 e 0 <= z <= 3 . Para facilitar a integração, é bom usar coordenadas cilíndricas, onde:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r , dr , dtheta , dz .

Passo 5

Vamos então expressar a integral tripla integral triplaV 2z , dV em coordenadas cilíndricas:
integral triplaV 2z , dV = integral0^2pi integral0^2 integral0^3 2z cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, r varia de 0 a 2 (já que x^2 + y^2 <= 4 implica r <= 2 ), theta de 0 a 2pi , e z de 0 a 3.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z :
integral0^3 2z cdot r , dz = 2r integral0^3 z , dz = 2r [ z^22 ]0^3 = 2r ( 92 - 0 ) = 9r

Passo 7

Agora, integramos em relação a r :
integral0^2 9r , dr = 9 integral0^2 r , dr = 9 [ r^22 ]0^2 = 9 ( 42 - 0 ) = 9 times 2 = 18

Passo 8

Por fim, integramos em relação a theta :
integral0^2pi 18 , dtheta = 18 [ theta ]0^2pi = 18 times 2pi = 36pi

Resposta

A integral de fluxo integral duplasigma lang<= F, n rang<= dS é igual a 36pi .

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