Seja
e
a fronteira do cilindro
e
. Calcule
onde
é a normal unitária que aponta para fora do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para calcular a integral de fluxo de um campo vetorial
sobre a superfície
, que é a fronteira de um cilindro definido por
e
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência. Para resolver isso, vamos precisar calcular a divergência de
e aplicar o teorema para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada
com a integral dupla da divergência desse campo sobre o volume
limitado por
. A fórmula é:
Então, ao invés de calcular a integral de fluxo diretamente pela superfície, a gente calcula a integral da divergência no volume, que geralmente é mais fácil.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral tripla sobre o volume do cilindro. O cilindro é definido por
e
. Para facilitar a integração, é bom usar coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 5
Vamos então expressar a integral tripla
em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
varia de 0 a 2 (já que
implica
),
de 0 a
, e
de 0 a 3.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
A integral de fluxo
é igual a
.