Considere
uma função derivável até segunda ordem, tal que
em todo
. Então
é a função comprimento de arco da curva. Note que
s(t) é crescente. O vetor tangente unitário é dado por
T(t)=gamma^prime(t)|gamma^prime(t)|
Defina
tau(s)=T(t) , em que
s=s(t) . Mostre que
d taud s=gamma^prime prime(t)|gamma^prime(t)|^2-gamma^prime(t)lang<=gamma^prime prime(t), gamma^prime(t)rang<=|gamma^prime(t)|^4
O número
k(s)=|d taud s| é a curvatura de
gamma no ponto
gamma(t) , em que
t=t(s) .
Passo 1
O enunciado define uma curva
gammacolon ItoR^3 de classe
C^2 , sem pontos críticos (
|gamma'(t)|neq0 ), com comprimento de arco
o vetor tangente unitário
e a reparametrização
tau(s)=Tl(t(s)r) . Precisamos mostrar que
Passo 2
Usamos a regra da cadeia para
tau(s)=Tl(t(s)r) . Como
temos
Passo 3
Calculamos
T'(t) por derivação de quociente em
Logo
Passo 4
Para
ddt|gamma'(t)| usamos
|gamma'(t)|=raizlang<=gamma'(t),gamma'(t)rang<= , portanto
Passo 5
Substituindo em
T'(t) :
Assim
que é o resultado desejado.
Resposta
A curvatura é então