Considere gamma: I R^3 uma função derivável até segunda ordem, tal que |gamma^prime(t)| neq 0 em todo t in I=[a, b]. Então
s(t)=integrala^t|gamma^prime(u)| d u
é a função comprimento de arco da curva. Note que s(t) é crescente. O vetor tangente unitário é dado por
T(t)=gamma^prime(t)|gamma^prime(t)|
Defina tau(s)=T(t), em que s=s(t). Mostre que
d taud s=gamma^prime prime(t)|gamma^prime(t)|^2-gamma^prime(t)lang<=gamma^prime prime(t), gamma^prime(t)rang<=|gamma^prime(t)|^4
O número k(s)=|d taud s| é a curvatura de gamma no ponto gamma(t), em que t=t(s).

Passo 1

O enunciado define uma curva gammacolon ItoR^3 de classe C^2, sem pontos críticos ( |gamma'(t)|neq0), com comprimento de arco
s(t)=integrala^t|gamma'(u)|,du,
o vetor tangente unitário
T(t)=gamma'(t)|gamma'(t)|,
e a reparametrização tau(s)=Tl(t(s)r). Precisamos mostrar que
dtauds =gamma''(t),|gamma'(t)|^2;-;gamma'(t),lang<=gamma''(t),gamma'(t)rang<= |gamma'(t)|^4

Passo 2

Usamos a regra da cadeia para tau(s)=Tl(t(s)r). Como
dsdt=|gamma'(t)|,
temos
dtauds =dTdtdsdt =T'(t)|gamma'(t)|

Passo 3

Calculamos T'(t) por derivação de quociente em
T(t)=gamma'(t)|gamma'(t)|
Logo
T'(t) =gamma''(t),|gamma'(t)| -gamma'(t),ddt|gamma'(t)| |gamma'(t)|^2

Passo 4

Para ddt|gamma'(t)| usamos
|gamma'(t)|=raizlang<=gamma'(t),gamma'(t)rang<=, portanto
ddt|gamma'(t)| =lang<=gamma''(t),gamma'(t)rang<=|gamma'(t)|

Passo 5

Substituindo em T'(t):
T'(t) =gamma''(t)|gamma'(t)| -gamma'(t),lang<=gamma''(t),gamma'(t)rang<=|gamma'(t)| |gamma'(t)|^2 =gamma''(t)|gamma'(t)|^2 -gamma'(t)lang<=gamma''(t),gamma'(t)rang<= |gamma'(t)|^3
Assim
dtauds =T'(t)|gamma'(t)| =gamma''(t)|gamma'(t)|^2 -gamma'(t)lang<=gamma''(t),gamma'(t)rang<= |gamma'(t)|^4,
que é o resultado desejado.

Resposta

dtauds =gamma''(t),|gamma'(t)|^2 -gamma'(t),lang<=gamma''(t),gamma'(t)rang<= |gamma'(t)|^4
A curvatura é então
k(s)=l|tfracdtaudsr|

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