Calcule integralegral duplaOmega y^5 e^x y^3 d A, sendo Omega=[0,3] times[1,2]. R: e^24-e^39-73

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaOmega y^5e^x,y^3,dA,
onde Omega=[0,3]times[1,2].
O conteúdo aqui é o uso do Teorema de Fubini para escrever a integral como iterada e depois aplicar integração em x e em y separadamente.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
integral duplaOmega y^5e^x,y^3,dA =integraly=1^2!gl(integralx=0^3y^5e^x,y^3,dxgr),dy

Passo 3

Na integral interna, y é constante. Temos
integral0^3y^5e^x,y^3,dx =y^5integral0^3e^x,y^3,dx
Fazendo a antiderivada de e^x,y^3 em x,
integral e^x,y^3,dx =1y^3,e^x,y^3,
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integral0^3y^5e^x,y^3,dx =y^5l[1y^3,e^x,y^3r]0^3 =y^2l(e^3y^3-1r)

Passo 4

Assim a integral dupla vira
integral1^2y^2l(e^3y^3-1r),dy =integral1^2y^2e^3y^3,dy ;-;integral1^2y^2,dy

Passo 5

Na primeira parte fazemos a substituição
t=3y^3, dt=9y^2,dy ;Longrightarrow; y^2,dy=dt9
Quando y=1 temos t=3, e quando y=2 temos t=24. Então
integral1^2y^2e^3y^3,dy =integral3^24e^t,dt9 =19l(e^24-e^3r)

Passo 6

A segunda parte é só um polinômio:
integral1^2y^2,dy =l[y^33r]1^2 =83-13 =73

Passo 7

Juntando as duas partes, o valor da integral é
19l(e^24-e^3r) ;-;73

Resposta

e^24-e^39-73

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