Determine a solução geral das equações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Este tipo de equação é da forma de Lagrange–d’Alembert
onde
. Vamos usar o método de diferenciar em relação a
, obter uma equação para
e então integrar.
Passo 2
Definimos
Diferenciando
em relação a
, obtemos
Logo surge a equação
Passo 3
Reorganizando para isolar
, temos
assumindo
. Agora separamos variáveis:
Integrando ambos os lados,
Exponenciando, obtemos
onde escrevemos
como constante arbitrária.
Passo 4
Isolando
e retornando a
,
e da equação original
Desenvolvendo o quadrado:
logo
Passo 5
Há também a solução singular obtida se
. Nesse caso
constante, e da equação original segue
.
Resposta
A solução geral é
com
constante arbitrária, e existe a solução singular