Determine a solução geral das equações abaixo:
y=x(d yd x)^2+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y = xl(dydxr)^2 + 1
Este tipo de equação é da forma de Lagrange–d’Alembert
y = x,fl(pr) + gl(pr),
onde p = dydx. Vamos usar o método de diferenciar em relação a x, obter uma equação para p e então integrar.

Passo 2

Definimos
p = dydx
Diferenciando y = x,p^2 + 1 em relação a x, obtemos
dydx = p = ddxl(x,p^2 + 1r) = p^2 + 2x,p,dpdx
Logo surge a equação
p = p^2 + 2x,p,dpdx

Passo 3

Reorganizando para isolar dpdx, temos
p - p^2 = 2x,p,dpdx ;Longrightarrow; (1 - p) = 2x,dpdx,
assumindo pneq0. Agora separamos variáveis:
dp1 - p = dx2x
Integrando ambos os lados,
integral dp1 - p = integral dx2x ;Longrightarrow; - lnlvert 1 - prvert = tfrac12lnlvert xrvert + C1
Exponenciando, obtemos
1 - p = C,x^-tfrac12,
onde escrevemos C = e^-C1 como constante arbitrária.

Passo 4

Isolando p e retornando a y,
p = 1 - C,x^-tfrac12,
e da equação original
y = x,p^2 + 1 = xl(1 - C,x^-tfrac12r)^2 + 1
Desenvolvendo o quadrado:
l(1 - C,x^-tfrac12r)^2 = 1 - 2C,x^-tfrac12 + C^2,x^-1,
logo
y = x - 2C,raizx + C^2 + 1

Passo 5

Há também a solução singular obtida se p=0. Nesse caso dy/dx=0implies y constante, e da equação original segue y=1.

Resposta

A solução geral é
boxedy = x - 2C,raizx + C^2 + 1,
com C constante arbitrária, e existe a solução singular
boxedy equiv 1

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