Determine a solução geral das equações abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede a sua solução geral. Aqui reconhecemos uma equação em que aparece
e uma função de
de forma análoga a uma equação de Clairaut (embora o termo em
não seja linear). Vamos então usar a substituição
porque
.
Passo 2
Com
reescrevemos a relação dada como
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
, lembrando que
:
Mas
. Logo,
Passo 3
Cancelando
em ambos os lados fica
Isso gera duas possibilidades:
)
ou
)
.
Passo 4
Caso
:
implica
constante. Então
e a expressão original dá
Esse é o integral geral parametrizado por
.
Passo 5
Caso
:
dá
Então
isto é,
Para achar
integramos:
Mas ao voltar na equação original só se satisfaz para
, portanto
é a solução singular (envelope) do problema.
Resposta
A família de soluções gerais é
e a solução singular é