Determine a solução geral das equações abaixo:
y=x y^prime+raiz1-(y^prime)^2

Passo 1

O enunciado dá a equação
y = x,y' + raiz1 - l(y'r)^2
e pede a sua solução geral. Aqui reconhecemos uma equação em que aparece p=y' e uma função de p de forma análoga a uma equação de Clairaut (embora o termo em p não seja linear). Vamos então usar a substituição
p = sintheta,
porque raiz1-p^2=costheta.

Passo 2

Com p=sintheta reescrevemos a relação dada como
y = xsintheta + costheta
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x, lembrando que theta=theta(x):
dydx = sintheta + l(xcostheta - sinthetar),dthetadx
Mas dydx=p=sintheta. Logo,
sintheta + l(xcostheta - sinthetar),theta' = sintheta

Passo 3

Cancelando sintheta em ambos os lados fica
l(xcostheta - sinthetar),theta' = 0
Isso gera duas possibilidades:
1) theta' = 0 ou 2) xcostheta - sintheta = 0.

Passo 4

Caso 1: theta' = 0 implica theta=theta0 constante. Então
p=sintheta0 = c(constante), costheta0 = raiz1-c^2,
e a expressão original dá
y = c,x + raiz1-c^2
Esse é o integral geral parametrizado por c.

Passo 5

Caso 2: xcostheta - sintheta=0
tantheta = x Longrightarrow theta = arctan x
Então
p = sintheta = xraiz1+x^2,
isto é,
y' = xraiz1+x^2
Para achar y integramos:
y = integral xraiz1+x^2,dx = raiz1+x^2 + K
Mas ao voltar na equação original só se satisfaz para K=0, portanto
y = raiz1+x^2
é a solução singular (envelope) do problema.

Resposta

A família de soluções gerais é
boxedy = c,x + raiz1-c^2, cin(-1,1),
e a solução singular é
boxedy = raiz1+x^2

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