Calcule integralegral duplaOmega raizx+y d A, sendo Omega=[0,1] times[1,2]. R: 415(9 raiz3-8 raiz2+1)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral dupla
integral duplaOmega raizx+y,dA
onde Omega=[0,1]times[1,2]. O conteúdo aqui é aplicação do Teorema de Fubini para transformar a integral dupla numa iterada e depois usar primitivas de funções potência do tipo (x+y)^1/2.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Fubini, fixamos y e integramos primeiro em x. Isso leva a
integral0^1 raizx+y,dx
Para achar a primitiva usamos que
integral (x+y)^12,dx = 23(x+y)^32 + C

Passo 3

Substituindo os limites de x de 0 a 1 e integrando em seguida em y, obtemos
integral duplaOmega raizx+y,dA = integral1^2!l[tfrac23l((1+y)^32-y^32r)r]dy = integral1^223l((1+y)^tfrac32-y^tfrac32r),dy

Passo 4

Agora calculamos a integral em y. As primitivas são
integral (1+y)^32,dy = 25(1+y)^52, integral y^32,dy = 25y^52
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integral1^2l((1+y)^tfrac32-y^tfrac32r)dy = 25l[(1+y)^tfrac52-y^tfrac52r]1^2,
e multiplicando por tfrac23 temos
415l[(1+y)^tfrac52-y^tfrac52r]1^2

Passo 5

Basta avaliar em y=2 e y=1. Em y=2: (1+2)^5/2=3^5/2=9raiz3, 2^5/2=4raiz2.
Em y=1: 2^5/2=4raiz2, 1^5/2=1.
A diferença é
(9raiz3-4raiz2);-;(4raiz2-1) =9raiz3-8raiz2+1
Multiplicando por tfrac415 resulta em
415l(9raiz3 - 8raiz2 + 1r)

Resposta

415l(9raiz3 - 8raiz2 + 1r)

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