Determine a solução geral das equações abaixo:
d yd x=2 x+y-14 x+2 y+5

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
dydx = 2x + y - 14x + 2y + 5
Aqui vamos usar um truque clássico: observar que os numerador e denominador são formas lineares em x,y com proporção entre coeficientes, o que sugere a substituição
v = 2x + y

Passo 2

Definindo v = 2x + y, temos
dvdx = 2 + dydx,
ou seja
dydx = dvdx - 2
Substituindo na EDO original:
dvdx - 2 = v - 12v + 5 Longrightarrow dvdx = 2 + v - 12v + 5 = 5v + 92v + 5

Passo 3

A equação ficou separável:
2v + 55v + 9,dv = dx
Integramos ambos os lados:
integral 2v + 55v + 9,dv = integral dx

Passo 4

Fazemos divisão de polinômios para a integral à esquerda:
2v + 5 = 25(5v + 9) + 75,
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integral 2v + 55v + 9,dv = 25integral dv + 75integral dv5v + 9 = 25v + 725lnl|5v + 9r| + C
Portanto
25v + 725lnl|5v + 9r| = x + C

Passo 5

Volta à variável original v = 2x + y. Multiplicando por 25 para simplificar constantes:
10(2x + y) + 7lnl|10x + 5y + 9r| = 25x + C1
Isto é
20x + 10y + 7lnl|10x + 5y + 9r| = 25x + C1 ;Longrightarrow; 10y + 7lnl|10x + 5y + 9r| = 5x + C1
e, finalmente,
10y - 5x + 7lnl|10x + 5y + 9r| = C2

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
boxed,10y - 5x + 7lnl|10x + 5y + 9r| = C,,
onde C é constante arbitrária.

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