Determine a solução geral das equações abaixo:
y^prime=x yx^2-y^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = x,yx^2 - y^2
Esse tipo de equação é homogênea de grau zero (o numerador e o denominador têm o mesmo grau em x,y). Para resolver, vamos usar a substituição típica de homogênea
y = v,x,
onde v é função de x.

Passo 2

Substituindo y=v,x temos
dydx = v + x dvdx
Por outro lado,
dydx = x,(v,x)x^2 - (v,x)^2 = x^2,vx^2,(1-v^2) = v1-v^2
Logo igualamos as duas expressões:
v + xdvdx = v1-v^2 Longrightarrow xdvdx = v1-v^2 - v
Fazendo a subtração no lado direito:
xdvdx = v - v(1-v^2)1-v^2 = v^31-v^2

Passo 3

Agora separamos variáveis:
1-v^2v^3,dv = dxx
Integramos ambos os lados:
integral!l(v^-3-v^-1r),dv = integraldxx
O lado esquerdo dá
integral v^-3dv = -12v^2, integral v^-1dv = lnlvert vrvert,
então
-12v^2 - lnlvert vrvert = lnlvert xrvert + C

Passo 4

Voltando a y e x por v = tfracyx, temos
-12,(y/x)^2 - lnllvert yxrrvert = lnlvert xrvert + C
Isso é
-x^22y^2 ;-;l(lnlvert yrvert - lnlvert xrvertr) = lnlvert xrvert + C
Os termos lnlvert xrvert se cancelam, resultando em
-x^22y^2 - lnlvert yrvert = C Longrightarrow x^22y^2 + lnlvert yrvert = C',
onde C' é constante geral.

Resposta

boxedx^22y^2 + lnlvert yrvert = C

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