Determine a solução geral das equações abaixo:
y^prime=-x^2+y^2(2 x+y) y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = -x^2+y^2(2x+y),y
e pede a solução geral. Observamos que a razão entre termos de mesmo grau em x,y sugere uma equação homogênea, então usaremos a substituição
y = v,x,
onde v=v(x), para transformar em variáveis separáveis.

Passo 2

Com y=v,x temos
y' = ddx(v,x) = v + x,dvdx
Substituindo em
y' = -x^2+y^2(2x+y),y
recebemos
v + x,dvdx = -x^2 + v^2x^2(2x+v,x),v,x = -1+v^2v(2+v)

Passo 3

Isolamos o termo x,dv/dx:
x,dvdx = -1+v^2v(2+v) ;-; v = -1+v^2 + v^2(2+v)v(2+v) = -1 + 3v^2 + v^3v(2+v)
Então obtemos a forma separável
v(2+v)1 + 3v^2 + v^3,dv = -dxx

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, note que o denominador D(v)=v^3+3v^2+1 tem derivada
D'(v)=3v^2+6v=3,v(2+v),
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v(2+v)1 + 3v^2 + v^3 = 13,D'(v)D(v)
Assim,
integral v(2+v)1 + 3v^2 + v^3,dv = 13integral D'(v)D(v),dv = 13lnl|v^3+3v^2+1r| + C
E o lado direito integra-se a
integral -dxx = -ln|x| + C

Passo 5

Igualando as integrais temos
13lnl|v^3+3v^2+1r| = -ln|x| + C1
lnl|v^3+3v^2+1r| = -3ln|x| + C2 = lnl(C,x^-3r),
onde C=e^C2. Portanto
v^3+3v^2+1 = C,x^-3

Passo 6

Voltando a v=y/x, temos
l(yxr)^3 + 3l(yxr)^2 + 1 = C,x^-3
Multiplicando tudo por x^3 chega-se à forma implícita
y^3 + 3x,y^2 + x^3 = C

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
boxedy^3 + 3x,y^2 + x^3 = C,
onde C é constante arbitrária.

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