Determine a solução geral das equações abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral. Observamos que a razão entre termos de mesmo grau em
sugere uma equação homogênea, então usaremos a substituição
onde
, para transformar em variáveis separáveis.
Passo 2
Com
temos
Substituindo em
recebemos
Passo 3
Isolamos o termo
:
Então obtemos a forma separável
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo, note que o denominador
tem derivada
logo
Assim,
E o lado direito integra-se a
Passo 5
Igualando as integrais temos
onde
C=e^C2 . Portanto
Passo 6
Voltando a
v=y/x , temos
Multiplicando tudo por
x^3 chega-se à forma implícita
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
C é constante arbitrária.