Determine a solução geral das equações abaixo:
cos y+y cos x+(sen x-x sen y) d yd x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
cos y + ycos x + l(sin x - xsin yr)dydx=0
Esse tipo de equação é do formato
M(x,y)+N(x,y)dydx=0,
e vamos usar o conceito de equação exata, que exige verificar se
partial M/partial y=partial N/partial x, para então achar uma função potencial F(x,y) tal que
partial F/partial x=M e partial F/partial y=N.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=cos y + ycos x, N(x,y)=sin x - xsin y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =-sin y+cos x, partial Npartial x =cos x-sin y
Como -sin y+cos x=cos x-sin y, a equação é exata.

Passo 3

Por exatidão existe F(x,y) tal que
partial F/partial x=M. Integramos M em relação a x:
F(x,y)=integrall(cos y + ycos xr),dx = xcos y + ysin x + h(y),
onde h(y) é função de integração a determinar.

Passo 4

Agora impomos partial F/partial y=N. Calculamos
partial Fpartial y =-xsin y + sin x + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=sin x - xsin y. Isso leva a
-xsin y + sin x + h'(y) =sin x - xsin y Longrightarrow h'(y)=0
portanto h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral fica implícita por
F(x,y)=xcos y + ysin x = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

xcos y + ysin x = C

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