Calcule integralegral triplaOmega(x^2+y^2) d V, sendo Omega a região interior ao cilindro x^2+y^2=2 x limitada pela esfera x^2+y^2+z^2=4. R: 128 pi45

Passo 1

O enunciado pede
I=integral triplaOmega(x^2+y^2),dV,
onde Omega é a porção do interior do cilindro
x^2+y^2=2x
limitada pela esfera
x^2+y^2+z^2=4
O conteúdo é integração tripla em coordenadas cilíndricas, usando que no plano xy a inequação
x^2+y^2<=2x
em coordenadas polares (r,theta) fica
r^2<=2rcostheta Longrightarrow 0<= r<=2costheta,
com -tfracpi2<=theta<=tfracpi2. E para cada (r,theta) o z varia de -raiz4-r^2 a +raiz4-r^2.

Passo 2

Escrevemos em cilíndricas:
x^2+y^2=r^2, dV=r,dz,dr,dtheta
Logo
I =integraltheta=-pi/2^pi/2 integralr=0^2costheta integralz=-raiz4-r^2^raiz4-r^2 !r^2,(r,dz,dr,dtheta) = integral-pi/2^pi/2!! integral0^2costheta r^3l[integral-,raiz4-r^2^raiz4-r^2dzr]dr,dtheta
O integral em z vale 2raiz4-r^2. Logo
I =2integral-pi/2^pi/2 integral0^2costheta r^3raiz4-r^2,dr,dtheta

Passo 3

Calculemos primeiro, para a>0,
J(a)=integral0^ar^3raiz4-r^2,dr
Use a substituição u=4-r^2, du=-2r,dr. Então
r^3,dr =(r^2)(r,dr) =(4-u)l(-tfrac12dur),
e r=0mapsto u=4,\quad r=amapsto u=4-a^2
Assim
J(a) =12integral4-a^2^4(4-u)raizu,du =12l[tfrac83u^3/2-tfrac25u^5/2r],u=4-a^2^,u=4
Em u=4 tfrac83cdot8-tfrac25cdot32= tfrac643-tfrac645=tfrac12815
Em u=4-a^2 temos
(4-a^2)^3/2=(4sin^2theta)^3/2=8,|sin^3theta|, (4-a^2)^5/2=32,|sin^5theta| quando a=2costheta
Logo, tomando a=2costheta,
J(2costheta) =6415 -12l[83,8|sin^3theta| -25,32|sin^5theta|r] = 6415 -323|sin^3theta| +325|sin^5theta|

Passo 4

Substituindo em
I =2integral-pi/2^pi/2J(2costheta),dtheta =2integral-pi/2^pi/2! l(tfrac6415-tfrac323|sin^3theta| +tfrac325|sin^5theta|r)dtheta
Separamos em três termos:
1. 2cdot6415!integral-pi/2^pi/2dtheta =12815,pi 2. -,2cdot323!integral-pi/2^pi/2|sin^3theta|,dtheta =-643cdot2!integral0^pi/2sin^3theta,dtheta =-643cdot2cdot23 =-2569 3. 2cdot325!integral-pi/2^pi/2|sin^5theta|,dtheta =645cdot2!integral0^pi/2sin^5theta,dtheta =645cdot2cdot815 =102475
Somando:
I =128pi15 -2569 +102475 =1920pi-3328225

Resposta

boxedI=1920pi-3328225

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