Determine a solução geral das equações abaixo.
x d yd x-2 y+3 x=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
xdydx-2y+3x=0
Isto é uma equação linear na forma x,dy/dx + P(x),y = Q(x). Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por x (assumindo xneq0), obtemos a forma padrão
dydx-2xy=-3
Aqui P(x)=-tfrac2x e Q(x)=-3.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) via
mu(x)=expgl(integral P(x),dxgr) =expgl(integral -2x,dxgr) =expl(-2ln|x|r) =x^-2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x^-2, temos
x^-2dydx-2x^-3y=-3x^-2,
e o lado esquerdo é exatamente a derivada
ddxl(x^-2yr)=-3x^-2
Integrando ambos os lados em x,
x^-2y=integral -3x^-2,dx =-3l(-x^-1r)+C =3x^-1+C

Passo 5

Isolando y,
y=x^2l(3x^-1+Cr) =3x+Cx^2,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Resposta

A solução geral é
y=3x+Cx^2

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