Determine a solução geral das equações abaixo.
y^prime-a yx=x+1x, a neq 0, a neq 1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' - a,yx = x+1x,
com aneq0 e aneq1.
O conteúdo é resolução de equação linear do tipo
y' + p(x),y = q(x),
usando fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão
y' - ax,y = x+1x,
logo identificamos
p(x) = -ax, q(x)=x+1x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral -ax,dxr) = expl(-aln|x|r) = x^-a

Passo 4

Multiplicando a equação por x^-a obtém-se
x^-ay' - a,x^-a-1y = x^-a,x+1x ;Longrightarrow; l(x^-ayr)' = x^-a + x^-a-1

Passo 5

Integramos ambos os lados:
x^-ay = integral x^-a,dx + integral x^-a-1,dx + C
Como aneq1 e aneq0,
integral x^-a,dx = x^1-a1-a, integral x^-a-1,dx = -x^-aa,
logo
x^-ay = x^1-a1-a - x^-aa + C

Passo 6

Multiplicando por x^a, vem
y = x1-a - 1a + C,x^a

Resposta

boxedy(x) = x1 - a ;-;1a;+;C,x^a,
onde C é constante arbitrária.

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