Determine a solução geral das equações abaixo.
x y-(1+x^2) d yd x=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x,y - (1+x^2),dydx = 0
Este é um caso de equação de primeira ordem em que podemos usar separação de variáveis para encontrar y(x).

Passo 2

Reescrevendo a equação para isolar tfracdydx, temos
(1+x^2)dydx = x,y Longrightarrow dydx = x1+x^2,y
Agora dividimos ambos os lados por y e multiplicamos por dx para separar as variáveis:
1y,dy = x1+x^2,dx

Passo 3

Integramos cada lado da igualdade:
integral 1y,dy = integral x1+x^2,dx
No lado esquerdo, integral y^-1dy = ln|y|. No lado direito, fazemos a substituição u=1+x^2, du=2x,dx, logo
integral x1+x^2,dx = 12 integral duu = 12 lnl|ur| = 12 lnl(1+x^2r)
Portanto, após a integração:
ln|y| = 12 lnl(1+x^2r) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados, obtemos
|y| = e^C,l(1+x^2r)^1/2
Como e^C é uma constante positiva, podemos chamar A = pm e^C como constante arbitrária real. Assim
y = A,raiz1+x^2,
que é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

y(x) = C,raiz1+x^2,
onde C é uma constante real arbitrária.

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