A=[rr 1 & -3 -2 & 4 ] e x=[l 5 3 ]
Calcule ( A x)^T, x^T A^T, x x^T e x^T x. Será que A^T x^T está definido?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & -3 -2 & 4
e o vetor coluna
x = 5 3,
e pede quatro operações envolvendo produto e transposta: (Ax)^T, x^T A^T, xx^T e x^Tx. Também pergunta se A^Tx^T está definido. Para resolver, vamos usar multiplicação de matrizes, cálculo de transposta e o conceito de dimensão para verificar definições.

Passo 2

Primeiro calculamos
Ax = 1 & -3 -2 & 4 5 3 = 1cdot5 + (-3)cdot3 -2cdot5 + 4cdot3 = 5 - 9 -10 + 12 = -4 2
Logo,
(Ax)^T = -4 & 2

Passo 3

Agora calculamos
x^T A^T
Temos x^T = 5 & 3 e
A^T = 1 & -2 -3 & 4
Então
x^T A^T = 5 & 3 1 & -2 -3 & 4 = 5cdot1 + 3cdot(-3) & 5cdot(-2) + 3cdot4 = 5 - 9 & -10 + 12 = -4 & 2
Note que confirma a propriedade (Ax)^T = x^T A^T.

Passo 4

O produto externo xx^T é uma matriz 2times2:
xx^T = 5 3 5 & 3 = 5cdot5 & 5cdot3 3cdot5 & 3cdot3 = 25 & 15 15 & 9

Passo 5

O produto interno x^Tx é um escalar:
x^Tx = 5 & 3 5 3 = 5cdot5 + 3cdot3 = 25 + 9 = 34

Passo 6

Para verificar se A^Tx^T está definido, olhamos as dimensões:
;A^T é 2times2 e x^T é 1times2.
Para multiplicar uma matriz 2times2 por uma 1times2, precisaríamos que o número de colunas da primeira (2) fosse igual ao número de linhas da segunda (1), mas 2neq1. Logo, a multiplicação A^Tx^T não está definida.

Resposta

(Ax)^T = -4 & 2
x^T A^T = -4 & 2
xx^T = 25 & 15 15 & 9
x^Tx = 34
A^Tx^T não está definido devido às dimensões.

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