Em P1(R) considere o produto interno definido por
lang<= p, qrang<==2 a c+a d+b c+2 b d, com l p(x)=a x+b q(x)=c x+d
Calcule o ângulo entre x-1 e 3 x.

Passo 1

Resumindo o enunciado: o espaço P1(R) é o de polinômios de grau <=1 e tem produto interno definido por
lang<= p,qrang<= = 2 a c + a d + b c + 2 b d,
onde p(x)=a x+b e q(x)=c x+d. O objetivo é encontrar o ângulo theta entre p(x)=x-1 e q(x)=3x, usando a fórmula
cos(theta)=lang<= p,qrang<=raizlang<= p,prang<=,lang<= q,qrang<=

Passo 2

Identificamos os coeficientes dos polinômios: para p(x)=x-1 temos a=1, b=-1; para q(x)=3x temos c=3, d=0.

Passo 3

Calculamos o produto interno lang<= p,qrang<= substituindo os valores:
lang<= p,qrang<= = 2cdot1cdot3 + 1cdot0 + (-1)cdot3 + 2cdot(-1)cdot0 = 6 + 0 - 3 + 0 = 3

Passo 4

Calculamos as “normas” quadradas lang<= p,prang<= e lang<= q,qrang<=:
lang<= p,prang<= = 2cdot1cdot1 + 1cdot(-1) + (-1)cdot1 + 2cdot(-1)cdot(-1) = 2 -1 -1 +2 = 2,
lang<= q,qrang<= = 2cdot3cdot3 + 3cdot0 + 0cdot3 + 2cdot0cdot0 = 18 + 0 + 0 + 0 = 18
Logo |p| = raiz2 e |q| = raiz18.

Passo 5

Aplicando a fórmula do cosseno do ângulo:
cos(theta) = 3raiz2,raiz18 = 3raiz36 = 36 = 12
Portanto,
theta = arccos!l(tfrac12r) = pi3

Resposta

theta = pi3.

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