Em P1(R) considere o produto interno definido por
lang<= p, qrang<==2 a c+a d+b c+2 b d, com l p(x)=a x+b q(x)=c x+d
Encontre um vetor r(x) ortogonal ao vetor x-1.

Passo 1

O enunciado nos coloca em P1(R) (polinômios de grau <=1) com o produto interno
lang<= p,qrang<= = 2,a,c + a,d + b,c + 2,b,d,
onde p(x)=a x+b e q(x)=c x+d. Precisamos achar um polinômio r(x) tal que
lang<= r,,x-1rang<= = 0,
isto é, r é ortogonal a x-1.

Passo 2

Suponha
r(x)=alpha x + beta
com coeficientes alpha e beta inconnus.

Passo 3

Aplicando a definição do produto interno entre r(x)=alpha x+beta e x-1, cujos coeficientes são c=1 e d=-1, obtemos
lang<= r,,x-1rang<= =2,alphacdot1 + alphacdot(-1) + betacdot1 + 2,betacdot(-1)

Passo 4

Simplificando a soma:
2alpha - alpha + beta - 2beta = alpha - beta
Logo
lang<= r,,x-1rang<= = alpha - beta

Passo 5

Para que r seja ortogonal a x-1, precisamos de
alpha - beta = 0 Longrightarrow alpha = beta

Passo 6

Isso mostra que qualquer polinômio da forma
r(x)=alpha,x + alpha = alpha,(x+1)
é ortogonal a x-1. Basta escolher uma alphaneq0 para ter um vetor não-nulo.

Resposta

Uma escolha simples é
r(x) = x + 1,
pois lang<= x+1,,x-1rang<= = 0.

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