Considere os conjuntos A=v1, v2, v3, v4, v5 e B=v1+3 v4-v2, 3 v2+v3+v1, v3-2 v4, v5. Supondo A linearmente independente, B é linearmente independente ou linearmente dependente?

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos de vetores num espaço vetorial:
A=v1,v2,v3,v4,v5 é linearmente independente, e
B=,v1+3v4-v2,;3v2+v3+v1,;v3-2v4,;v5.
Queremos saber se os vetores de B são linearmente independentes ou não. Para isso, usaremos a definição de independência linear: uma combinação linear nula implica apenas na solução trivial dos coeficientes.

Passo 2

Considere uma combinação linear genérica dos vetores de B que dá o vetor zero:
c1l(v1+3v4-v2r) + c2l(3v2+v3+v1r) + c3l(v3-2v4r) + c4,v5 =0

Passo 3

Agrupando termos segundo a base v1,v2,v3,v4,v5, obtemos
(c1+c2),v1 +(-c1+3c2),v2 +(c2+c3),v3 +(3c1-2c3),v4 + c4,v5 =0
Como A é linearmente independente, cada coeficiente acima deve ser zero.

Passo 4

Isso gera o sistema de equações
c1+c2=0, -,c1+3c2=0, c2+c3=0, 3c1-2c3=0, c4=0

Passo 5

Das duas primeiras equações segue c2=0 e então c1=0. Da terceira vem c3=-c2=0. E da quinta já temos c4=0. Logo todos os ci são zero, ou seja, só existe a solução trivial.

Resposta

O conjunto B é linearmente independente.

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