Considere os conjuntos
e
. Supondo
linearmente independente,
é linearmente independente ou linearmente dependente?
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos de vetores num espaço vetorial:
é linearmente independente, e
.
Queremos saber se os vetores de são linearmente independentes ou não. Para isso, usaremos a definição de independência linear: uma combinação linear nula implica apenas na solução trivial dos coeficientes.
Queremos saber se os vetores de
Passo 2
Considere uma combinação linear genérica dos vetores de
que dá o vetor zero:
Passo 3
Agrupando termos segundo a base
, obtemos
Como
é linearmente independente, cada coeficiente acima deve ser zero.
Passo 4
Isso gera o sistema de equações
Passo 5
Das duas primeiras equações segue
e então
. Da terceira vem
. E da quinta já temos
. Logo todos os
são zero, ou seja, só existe a solução trivial.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.