Calcule a série de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo
Passo 1
O enunciado pede: calcular a série de Fourier da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O domínio considerado é -periódica no contexto da série de Fourier).
- Os intervalos onde
são e . - Nos pontos com
tem-se . - O objetivo é obter os coeficientes da série de Fourier (termo constante e coeficientes das funções
e ) e escrever a série.]
Passo 2
Recordando a fórmula padrão da série de Fourier em
:
com os coeficientes dados por
para
, e
Aqui explico o que essas fórmulas significam de maneira simples:
é a média (valor DC) da função num período;
mede a “projeção” de
nas funções
e
a projeção em
. Para calcular a série, precisamos avaliar essas integrais usando a definição de
.
Passo 3
Observação sobre simetria (isto facilita os cálculos): a função
depende de
, logo é uma função par (
). Consequências úteis:
- Todos os
serão zero, porque é função ímpar e a integral de uma função ímpar multiplicada por uma função par sobre é zero. - Pode-se calcular
usando a redução da integral para e dobrando a contribuição de .
Vou usar essas simplificações explicitamente nos próximos passos.
Passo 4
Cálculo de
.
Pela definição,
A integral de
é apenas a medida dos trechos onde
. Esses trechos são dois intervalos de comprimento
cada, totalizando comprimento
. Assim
Portanto
Logo o termo constante na série é
.
Passo 5
Cálculo dos coeficientes
para
.
Usando simetria (função par),
Agora, para
, a função
vale
em
e vale
em
. Assim a integral reduz a
Passo 6
Avaliação da integral de
.
Calcule a primitiva:
Portanto
Como
para todo
, temos
Passo 7
Simplificação por análise modular de
.
A função
é periódica em
com período 4 e toma os valores:
- se
: ; - se
: ; - se
: ; - se
: .
Logo
é zero para todo
par (pois nesses casos
), e para
ímpar tem-se os sinais:
com
. Esta expressão concisa reflete o resultado encontrado antes:
Passo 8
Coeficientes
.
Como explicado no Passo 3, pela paridade de
e imparidade de
,
Passo 9
Escrever a série de Fourier final.
Substituindo os coeficientes, a série fica (usar somente termos em cosseno, já que
):
Podemos escrever a série de forma explícita somando apenas sobre os índices ímpares (já que
para
par). Uma forma compacta e útil é
onde a igualdade é a representação por série de Fourier (a convergência pontual em pontos de continuidade e convergência para a média dos limites laterais em pontos de descontinuidade vale conforme o teorema clássico).