Calcule a série de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [-\pi, \pi]\). (b) \(f(x)= \begin{cases}1, & \frac{1}{2} \pi<|x| \leq \pi ; \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a série de Fourier da função f\) definida em \([-\pi,\pi]\) por \[f(x)=\begin{cases} 1, & \tfrac{\pi}{2}<|x|\le \pi,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário (ou seja, }|x|\le\tfrac{\pi}{2}\text{).} \end{cases}
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O domínio considerado é [-\pi,\pi]\] (função \(2\pi-periódica no contexto da série de Fourier).
  • Os intervalos onde f(x)=1 são (\tfrac{\pi}{2},\pi] e [-\pi,-\tfrac{\pi}{2}).
  • Nos pontos com |x|\le\tfrac{\pi}{2} tem-se f(x)=0.
  • O objetivo é obter os coeficientes da série de Fourier (termo constante e coeficientes das funções \cos(nx) e \sin(nx)) e escrever a série.]

Passo 2

Recordando a fórmula padrão da série de Fourier em [-\pi,\pi]:
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
com os coeficientes dados por
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,
para n\ge1, e
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx.
Aqui explico o que essas fórmulas significam de maneira simples: a_0/2 é a média (valor DC) da função num período; a_n mede a “projeção” de f nas funções \cos(nx) e b_n a projeção em \sin(nx). Para calcular a série, precisamos avaliar essas integrais usando a definição de f.

Passo 3

Observação sobre simetria (isto facilita os cálculos): a função f depende de |x|, logo é uma função par ( f(-x)=f(x)). Consequências úteis:
  • Todos os b_n serão zero, porque \sin(nx) é função ímpar e a integral de uma função ímpar multiplicada por uma função par sobre [-\pi,\pi] é zero.
  • Pode-se calcular a_n usando a redução da integral para [0,\pi] e dobrando a contribuição de x\ge0.
Vou usar essas simplificações explicitamente nos próximos passos.

Passo 4

Cálculo de a_0.
Pela definição,
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx.
A integral de f é apenas a medida dos trechos onde f=1. Esses trechos são dois intervalos de comprimento \pi-\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2} cada, totalizando comprimento \pi. Assim
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = 1\cdot \pi.
Portanto
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot \pi = 1.
Logo o termo constante na série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Cálculo dos coeficientes a_n para n\ge1.
Usando simetria (função par),
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx.
Agora, para x\in[0,\pi], a função f(x) vale 0 em [0,\tfrac{\pi}{2}] e vale 1 em (\tfrac{\pi}{2},\pi]. Assim a integral reduz a
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(nx)\,dx.

Passo 6

Avaliação da integral de \cos(nx).
Calcule a primitiva:
\int \cos(nx)\,dx=\frac{1}{n}\sin(nx).
Portanto
a_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{n}\bigl[\sin(nx)\bigr]_{x=\pi/2}^{x=\pi} =\frac{2}{\pi n}\bigl(\sin(n\pi)-\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\bigr).
Como \sin(n\pi)=0 para todo n\in\mathbb{Z}, temos
a_n=-\frac{2}{\pi n}\sin\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr).

Passo 7

Simplificação por análise modular de n.
A função \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) é periódica em n com período 4 e toma os valores:
  • se n\equiv 0\pmod 4: \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=0;
  • se n\equiv 1\pmod 4: \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=1;
  • se n\equiv 2\pmod 4: \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=0;
  • se n\equiv 3\pmod 4: \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=-1.
Logo a_n é zero para todo n par (pois nesses casos \sin(n\pi/2)=0), e para n ímpar tem-se os sinais:
a_{4k+1}=-\frac{2}{\pi(4k+1)},\qquad a_{4k+3}=+\frac{2}{\pi(4k+3)},
com k=0,1,2,\dots. Esta expressão concisa reflete o resultado encontrado antes:
a_n=-\frac{2}{\pi n}\sin\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr).

Passo 8

Coeficientes b_n.
Como explicado no Passo 3, pela paridade de f e imparidade de \sin(nx),
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx = 0\qquad\text{para todo }n\ge1.

Passo 9

Escrever a série de Fourier final.
Substituindo os coeficientes, a série fica (usar somente termos em cosseno, já que b_n=0):
f(x)\sim \frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx), \qquad a_n=-\frac{2}{\pi n}\sin\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr).
Podemos escrever a série de forma explícita somando apenas sobre os índices ímpares (já que a_n=0 para n par). Uma forma compacta e útil é
f(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{\cos\bigl((4k+3)x\bigr)}{4k+3}-\frac{\cos\bigl((4k+1)x\bigr)}{4k+1}\right),
onde a igualdade é a representação por série de Fourier (a convergência pontual em pontos de continuidade e convergência para a média dos limites laterais em pontos de descontinuidade vale conforme o teorema clássico).

Resposta

f(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{\cos\bigl((4k+3)x\bigr)}{4k+3}-\frac{\cos\bigl((4k+1)x\bigr)}{4k+1}\right).

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