Calcule a série de Fourier das seguintes funções:
f(x)=l0,-3<x<0, 2,0<x<3, com f(x+6)=f(x), forall x in R

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período
com . Vamos precisar usar as fórmulas gerais de coeficientes de Fourier e calcular as integrais no intervalo fundamental .

Passo 2

A série de Fourier de uma função de período T pode ser escrita como
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancosl(tfrac2pi nTxr)+bnsinl(tfrac2pi nTxr)r),
onde os coeficientes são
an=2Tintegralx0^x0+Tf(x)cosl(tfrac2pi nTxr),dx, bn=2Tintegralx0^x0+Tf(x)sinl(tfrac2pi nTxr),dx,
e
a0=2Tintegralx0^x0+Tf(x),dx
Aqui escolhemos x0=-3 e T=6, de modo que o fator tfrac2T é tfrac13.

Passo 3

Cálculo de a0:
a0=13integral-3^3f(x),dx =13integral0^32,dx =13cdot2cdot3 =2
Logo o termo constante da série é a0/2=1.

Passo 4

Cálculo de an (para n>=1):
an=13integral-3^3f(x)cosl(tfracnpi3xr),dx =13integral0^32cosl(tfracnpi3xr),dx
Fazendo a integral,
integral0^3cosl(tfracnpi3xr),dx =l[tfrac3npisinl(tfracnpi3xr)r]0^3 =tfrac3npil(sin(npi)-0r)=0
Portanto an=0 para todo n.

Passo 5

Cálculo de bn (para n>=1):
bn=13integral-3^3f(x)sinl(tfracnpi3xr),dx =13integral0^32sinl(tfracnpi3xr),dx
Usando integralsin(ax),dx=-tfrac1acos(ax), vem
integral0^3sinl(tfracnpi3xr),dx =-3npil[cosl(tfracnpi3xr)r]0^3 =-3npil(cos(npi)-cos0r) =-3npil((-1)^n-1r)
Multiplicando por tfrac23 obtemos
bn =-23cdot3npil((-1)^n-1r) =2npil(1-(-1)^nr)

Passo 6

Observamos que 1-(-1)^n é zero para n par e vale 2 para n ímpar. Logo
bn= 0, & n par, dfrac4npi, & n ímpar í

Passo 7

Reunindo tudo, a série de Fourier fica
Alternativamente, indexando por ,

Resposta

f(x) =1+sumk=0^infty4(2k+1)pisin!l((2k+1)pi3xr)

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