Nos Exercicios de 1 a 8, escreva os quatro primeiros nuimeros da seqüência e ache o seu limite, se existir.
n^2ln (n+1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an = n^2ln(n+1)
escrevendo os quatro primeiros termos e determinando o seu limite quando ntoinfty. Vamos usar substituição direta para os primeiros termos e comparação de crescimentos (polinomial versus logarítmico) para o limite.

Passo 2

Para obter os quatro primeiros termos, fazemos n=1,2,3,4:
a1 = 1^2ln(1+1) = 1ln(2), a2 = 2^2ln(2+1) = 4ln(3),
a3 = 3^2ln(3+1) = 9ln(4), a4 = 4^2ln(4+1) = 16ln(5)

Passo 3

Para o limite
limntoinfty n^2ln(n+1),
observamos que n^2 cresce muito mais rápido que ln(n+1). Em termos de ordem de grandeza, o denominador tende ao infinito muito lentamente, de modo que a fração diverge para +infty.

Passo 4

Em abordagem formal, poderíamos estender a xinR^+ e usar L’Hôpital se quiséssemos, mas o resultado é o mesmo:
limxtoinftyx^2ln(x+1) = +infty Longrightarrow limntoinftyan = +infty

Resposta

Os quatro primeiros termos são
1ln(2), 4ln(3), 9ln(4), 16ln(5),
e o limite da sequência é +infty (não converge a um valor finito).

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