Reescreva a integral dupla em uma única integral. Esboce a região completa de integração e inverta a ordem da mesma.
integral0^2 integral0^x f(x, y) d y d x+integral2^6 integral0^raiz6-x f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para unir as duas integrais numa só sobre a região
R=(x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<= xcup(x,y)mid 2<= x<=6,;0<= y<= raiz6-x
e depois inverter a ordem de integração. O conteúdo aqui é caracterização de região em integrais duplas e troca de ordem de integração.

Passo 2

Vamos escrever a soma como uma única integral dupla sobre R. Como cada parte integra y de 0 até um “topo” que depende de x, temos
integral0^2integral0^xf(x,y),dy,dx;+;integral2^6integral0^raiz6-xf(x,y),dy,dx ;=;integral duplaRf(x,y),dA

Passo 3

Esboço de R: no plano xy,
— para 0<= x<=2, a borda superior é a reta y=x, formando um triângulo com o eixo y=0;
— para 2<= x<=6, a borda superior é a curva y=raiz6-x, que vai de (2,2) até (6,0).
A região R fica delimitada abaixo por y=0, à esquerda pela reta x=y e à direita pela curva x=6-y^2.

Passo 4

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo y. Vemos que y varia de 0 (eixo x) até 2 (ponto de encontro das curvas). Para cada yin[0,2], x vai da reta x=y até a curva x=6-y^2.

Passo 5

Escrevendo a integral com x primeiro, temos
integral duplaRf(x,y),dA ;=;integraly=0^2!integralx=y^,6 - y^2f(x,y),dx,dy

Resposta

A integral unificada é
integral duplaRf(x,y),dA
com
R=(x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<= xcup(x,y)mid 2<= x<=6,;0<= y<= raiz6-x
Invertendo a ordem de integração:
integral0^2!integraly^6 - y^2f(x,y),dx,dy

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