Reescreva a integral dupla em uma única integral. Esboce a região completa de integração e inverta a ordem da mesma.
Passo 1
O enunciado pede para unir as duas integrais numa só sobre a região
e depois inverter a ordem de integração. O conteúdo aqui é caracterização de região em integrais duplas e troca de ordem de integração.
Passo 2
Vamos escrever a soma como uma única integral dupla sobre
. Como cada parte integra
de
até um “topo” que depende de
, temos
Passo 3
Esboço de
: no plano
,
— para , a borda superior é a reta
, formando um triângulo com o eixo
;
— para , a borda superior é a curva
, que vai de
até
.
A região fica delimitada abaixo por
, à esquerda pela reta
e à direita pela curva
.
— para
— para
A região
Passo 4
Para inverter a ordem, projetamos
no eixo
. Vemos que
varia de
(eixo
) até
(ponto de encontro das curvas). Para cada
,
vai da reta
até a curva
.
Passo 5
Escrevendo a integral com
primeiro, temos
Resposta
A integral unificada é
com
Invertendo a ordem de integração: