Considere a região limitada pelas curvas y=x^2+4 x+4 e y=4-x^2. Seja C a borda dessa região, no sentido antihorário.
determine o valor de
ointC x y d x+(e^y+x^2) d y

Passo 1

O enunciado pede calcular o integral de linha ointC x y,dx + (e^y + x^2),dy sobre a fronteira C da região limitada pelas curvas y=x^2+4x+4 e y=4-x^2, no sentido anti-horário. O conteúdo é aplicação do Teorema de Green, que transforma um integral de linha fechado num integral duplo sobre a região interna.

Passo 2

Pela fórmula de Green temos
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaR l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
onde P(x,y)=xy e Q(x,y)=e^y+x^2. Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x=2x, partial Ppartial y=x
logo o integrando é 2x - x = x.

Passo 3

As curvas se intersectam onde
x^2+4x+4 = 4 - x^2 implies 2x^2 +4x =0 implies x(x+2)=0
daí x=-2 ou x=0. Para cada xin[-2,0], y varia de y1=(x+2)^2 até y2=4-x^2. Montamos:
integral duplaR x,dA = integralx=-2^0 l[integraly=(x+2)^2^4-x^2 x,dyr] dx

Passo 4

Integramos primeiro em y:
integral(x+2)^2^4-x^2 x,dy = xl((4-x^2) - (x+2)^2r) = xl(4 - x^2 - x^2 -4x -4r) = -2x^2(x+2)
Então o integral vira
integral-2^0 -2x^2(x+2),dx = integral-2^0 (-2x^3 -4x^2),dx

Passo 5

Agora calculamos:
integral(-2x^3 -4x^2),dx = -x^42 - 4x^33
avaliado de -2 a 0
l[0r] - l[-8 + tfrac323r] = -l(tfrac83r) = -tfrac83

Resposta

-\tfrac{8}{3}

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