Considere a região limitada pelas curvas
e
. Seja
a borda dessa região, no sentido antihorário.
determine o valor de
determine o valor de
Passo 1
O enunciado pede calcular o integral de linha
sobre a fronteira
da região limitada pelas curvas
e
, no sentido anti-horário. O conteúdo é aplicação do Teorema de Green, que transforma um integral de linha fechado num integral duplo sobre a região interna.
Passo 2
Pela fórmula de Green temos
onde
e
. Calculando as derivadas parciais:
logo o integrando é
.
Passo 3
As curvas se intersectam onde
daí
ou
. Para cada
,
varia de
até
. Montamos:
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Então o integral vira
Passo 5
Agora calculamos:
avaliado de
a
dá
Resposta
-\tfrac{8}{3}