Determine o máximo e mínimo global nos intervalos fixados das seguintes funções. (Dica: veja o exemplo resolvido.)
f(x)=x^4-2 x^3+2 x no intervalo [-1,1];
Exemplo: Vamos encontrar os máximos e mínimos globais de f(x)=2 x^3+3 x^2-12 x no intervalo [-3,3]. Inicialmente devemos encontrar os pontos críticos:
c f^prime(x)=6 x^2+6 x-12 6 x^2+6 x-12=0 Longrightarrow Longrightarrow x^2+x-2=0 Longrightarrow Longrightarrow x1=1, x2=-2
Agora devemos determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para tanto basta estudar o sinal de f^prime. Como f^prime é uma função quadrática cujo gráfico tem concavidade para cima, então f^prime(x)>0 para -3 <= x<-2 ou 1 e f^prime(x)<0 para -2 e assim x1=-2 é um тáximo local e x2=1 é um mínimo local. Como f está definida num intervalo fechado, basta calcular os valores de máximo e mínimo locais e comparar com os valores de f nos extremos do intervalo fechado.
©Luís Márcio Salge
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Cálculo I
Lista T1: Aplicações de Derivadas e Regra de LHôspital
Note que f(-3)=9, f(-2)=20, f(1)=-7, f(3)=45, então -1 é ponto de mínimo global com -7 valor de mínimo global equanto que 3 é ponto de máximo global com 45 valor de máximo global.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos globais de f(x)=x{4}-2x{3}+2x no intervalo fechado [-1,1]. Vamos usar derivadas para achar pontos críticos e depois comparar valores em pontos críticos e extremos.

Passo 2

Calcular a derivada de f usando regras de derivação de potência:
f'(x)=4x^3-6x^2+2

Passo 3

Determinar os pontos críticos resolvendo f’(x)=0:
4x^3-6x^2+2=0
Dividindo ambos os lados por 2 e fatorando:
2x^3-3x^2+1=0
Testando x=1, obtemos raiz dupla, e a outra raiz é x=-\tfrac12. Então os pontos críticos em [-1,1] são x=-\tfrac12 e x=1.

Passo 4

Estudar o sinal de f’ para classificar os pontos críticos e verificar mudança de monotonia: testar em x=-1 dá f’(-1)<0; em x=0 f’(0)>0; em x=1.5 f’(1.5)>0. Assim em x=-\tfrac12 ocorre mudança de sinal de negativo para positivo (mínimo local) e em x=1 não há mudança de sinal (não é extremo).

Passo 5

Calcular f nos candidatos a extremos:
f(-1)=1,
f(-\tfrac12)= -\tfrac{11}{16},
f(1)=1.

Passo 6

Comparar os valores obtidos: o menor é -\tfrac{11}{16} em x=-\tfrac12 (mínimo global) e o maior é 1 em x=-1 e x=1 (máximo global).

Resposta

O mínimo global é f(-\tfrac12)=-\tfrac{11}{16} e o máximo global é f(-1)=f(1)=1

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