Determine o máximo e mínimo global nos intervalos fixados das seguintes funções. (Dica: veja o exemplo resolvido.)
no intervalo
;
Exemplo: Vamos encontrar os máximos e mínimos globais de
no intervalo [-3,3]. Inicialmente devemos encontrar os pontos críticos:
Agora devemos determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para tanto basta estudar o sinal de
. Como
é uma função quadrática cujo gráfico tem concavidade para cima, então
para
ou
e
para
e assim
é um тáximo local e
é um mínimo local. Como
está definida num intervalo fechado, basta calcular os valores de máximo e mínimo locais e comparar com os valores de
nos extremos do intervalo fechado.
©Luís Márcio Salge
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Cálculo I
Lista T1: Aplicações de Derivadas e Regra de LHôspital
Note que
, então -1 é ponto de mínimo global com -7 valor de mínimo global equanto que 3 é ponto de máximo global com 45 valor de máximo global.
Exemplo: Vamos encontrar os máximos e mínimos globais de
©Luís Márcio Salge
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Cálculo I
Lista T1: Aplicações de Derivadas e Regra de LHôspital
Note que
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos globais de f(x)=x{4}-2x{3}+2x no intervalo fechado [-1,1]. Vamos usar derivadas para achar pontos críticos e depois comparar valores em pontos críticos e extremos.
Passo 2
Calcular a derivada de f usando regras de derivação de potência:
Passo 3
Determinar os pontos críticos resolvendo f’(x)=0:
Dividindo ambos os lados por 2 e fatorando:
Testando x=1, obtemos raiz dupla, e a outra raiz é x=-\tfrac12. Então os pontos críticos em [-1,1] são x=-\tfrac12 e x=1.
Passo 4
Estudar o sinal de f’ para classificar os pontos críticos e verificar mudança de monotonia: testar em x=-1 dá f’(-1)<0; em x=0 f’(0)>0; em x=1.5 f’(1.5)>0. Assim em x=-\tfrac12 ocorre mudança de sinal de negativo para positivo (mínimo local) e em x=1 não há mudança de sinal (não é extremo).
Passo 5
Calcular f nos candidatos a extremos:
f(-1)=1,
f(-\tfrac12)= -\tfrac{11}{16},
f(1)=1.
f(-1)=1,
f(-\tfrac12)= -\tfrac{11}{16},
f(1)=1.
Passo 6
Comparar os valores obtidos: o menor é -\tfrac{11}{16} em x=-\tfrac12 (mínimo global) e o maior é 1 em x=-1 e x=1 (máximo global).
Resposta
O mínimo global é f(-\tfrac12)=-\tfrac{11}{16} e o máximo global é f(-1)=f(1)=1